Granica- funkcje trygonometryczne

[Kamilka54]

Obliczyć granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{ \left \sin \left( x \right) - \tg \left( x \right) \right}{x ^{3} + \left \tg \left( x \right) }}\)

Dodam, że wygląda mi to na twierdzenie o trzech funkcjach, ale nie mam jakoś pomysłu, do jakich znanych i łatwych można to sprowadzić.

[Marcin-Szydlowski]

Możesz zastosować następującą regułę?
Jeżeli funkcje f i g są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt a oraz
\(\displaystyle{ 1. \lim_{x\to a}f(x)=0, \newline
2. \lim_{x\to a}g(x)=0,}\)
oraz istnieją (skończone) pochodne \(\displaystyle{ f^{\prime}(a) i g^{\prime}(a)}\), przy czym \(\displaystyle{ g^{\prime}(a)\neq 0}\), wówczas
\(\displaystyle{ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}.}\)
Biorąc teraz \(\displaystyle{ f(x)=\left \sin \left( x \right) - \tg \left( x \right) \right, g(x)=x ^{3} + \left \tg \left( x \right)}\) oraz a=0 otrzymujesz
ewline

[Kamilka54]

Rzeczywiście, zgodzę się, tylko nie mogę użyć w tym przypadku pochodnych, bo nie przerabialiśmy ich jeszcze na analizie.
Jest jakiś inny sposób?

[Lorek]

Trzeba zastosować następującą regułę.

E tam. Wystarczy podzielić każdy składnik przez \(\displaystyle{ x}\) i skorzystać ze znanych granic.

[Kamilka54]

Ile w takim razie wynosi \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{ \tg (x) }{x}}\) ?

[Lorek]

\(\displaystyle{ \frac{\tg x}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos x}}\)

[Kamilka54]

Pierwszy człon \(\displaystyle{ =1}\) oczywiście, drugi w zerze również nie jest niebezpieczny, bo tam \(\displaystyle{ \cos=1}\), więc \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \frac{ \tg(x)}{x}=1}\) ?

I jeśli tak, to granica całego wyrażenia wychodzi mi \(\displaystyle{ 0}\), czy to dobrze?

[Psiaczek]

...drugi w zerze również nie jest niebezpieczny...

Dobry tekst

Kamilka, matematyka cała jest niebezpieczna, matematyka to instrument ostry jak brzytwa

Nie pisz że się człon równa jeden , tylko że jego granica wynosi 1 albo że dąży do jedynki . Ale ogólnie dobrze kombinujesz.

[Kamilka54]

Nie pisz że się człon równa jeden , tylko że jego granica wynosi 1 albo że dąży do jedynki . Ale ogólnie dobrze kombinujesz.

Oczywiście, miałam na myśli, że jego granica wynosi 1, z rozpędu tak napisałam.
Czyli ogólnie granica tego wyrażenia, które podałam w pierwszym poście wyszła mi 0, bo 0 przez nieskończoność to 0, prawda?

[Lorek]

0 przez nieskończoność to jest zero, tyle, że tam nie ma 0 przez nieskończoność.

[Kamilka54]

Faktycznie, zauważyłam.

Mam: \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{ \frac{\sin(x)}{x} - \frac{\tg(x)}{x} }{x ^{2} + \frac{\tg(x)}{x} }}\)

Zostaje mi: \(\displaystyle{ = \frac{1-1}{0 + 1} = \frac{0}{1} = 0}\)


Teraz dobrze?

[Psiaczek]

Gdzie tkwi mój błąd?

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} x^2=0}\) tutaj tkwi