Granica- funkcje trygonometryczne
-
- Użytkownik
- Posty: 115
- Rejestracja: 15 lis 2007, o 14:03
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 4 razy
Granica- funkcje trygonometryczne
Obliczyć granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{ \left \sin \left( x \right) - \tg \left( x \right) \right}{x ^{3} + \left \tg \left( x \right) }}\)
Dodam, że wygląda mi to na twierdzenie o trzech funkcjach, ale nie mam jakoś pomysłu, do jakich znanych i łatwych można to sprowadzić.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{ \left \sin \left( x \right) - \tg \left( x \right) \right}{x ^{3} + \left \tg \left( x \right) }}\)
Dodam, że wygląda mi to na twierdzenie o trzech funkcjach, ale nie mam jakoś pomysłu, do jakich znanych i łatwych można to sprowadzić.
Ostatnio zmieniony 5 lis 2011, o 18:30 przez Kamilka54, łącznie zmieniany 1 raz.
Granica- funkcje trygonometryczne
Możesz zastosować następującą regułę?
Jeżeli funkcje f i g są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt a oraz
\(\displaystyle{ 1. \lim_{x\to a}f(x)=0, \newline
2. \lim_{x\to a}g(x)=0,}\)
oraz istnieją (skończone) pochodne \(\displaystyle{ f^{\prime}(a) i g^{\prime}(a)}\), przy czym \(\displaystyle{ g^{\prime}(a)\neq 0}\), wówczas
\(\displaystyle{ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}.}\)
Biorąc teraz \(\displaystyle{ f(x)=\left \sin \left( x \right) - \tg \left( x \right) \right, g(x)=x ^{3} + \left \tg \left( x \right)}\) oraz a=0 otrzymujesz
ewline
Jeżeli funkcje f i g są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt a oraz
\(\displaystyle{ 1. \lim_{x\to a}f(x)=0, \newline
2. \lim_{x\to a}g(x)=0,}\)
oraz istnieją (skończone) pochodne \(\displaystyle{ f^{\prime}(a) i g^{\prime}(a)}\), przy czym \(\displaystyle{ g^{\prime}(a)\neq 0}\), wówczas
\(\displaystyle{ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}.}\)
Biorąc teraz \(\displaystyle{ f(x)=\left \sin \left( x \right) - \tg \left( x \right) \right, g(x)=x ^{3} + \left \tg \left( x \right)}\) oraz a=0 otrzymujesz
ewline
Ostatnio zmieniony 5 lis 2011, o 19:49 przez Marcin-Szydlowski, łącznie zmieniany 3 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 115
- Rejestracja: 15 lis 2007, o 14:03
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 4 razy
Granica- funkcje trygonometryczne
Rzeczywiście, zgodzę się, tylko nie mogę użyć w tym przypadku pochodnych, bo nie przerabialiśmy ich jeszcze na analizie.
Jest jakiś inny sposób?
Jest jakiś inny sposób?
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Granica- funkcje trygonometryczne
E tam. Wystarczy podzielić każdy składnik przez \(\displaystyle{ x}\) i skorzystać ze znanych granic.Trzeba zastosować następującą regułę.
-
- Użytkownik
- Posty: 115
- Rejestracja: 15 lis 2007, o 14:03
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 4 razy
Granica- funkcje trygonometryczne
Pierwszy człon \(\displaystyle{ =1}\) oczywiście, drugi w zerze również nie jest niebezpieczny, bo tam \(\displaystyle{ \cos=1}\), więc \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \frac{ \tg(x)}{x}=1}\) ?
I jeśli tak, to granica całego wyrażenia wychodzi mi \(\displaystyle{ 0}\), czy to dobrze?
I jeśli tak, to granica całego wyrażenia wychodzi mi \(\displaystyle{ 0}\), czy to dobrze?
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Granica- funkcje trygonometryczne
Dobry tekstKamilka54 pisze: ...drugi w zerze również nie jest niebezpieczny...
Kamilka, matematyka cała jest niebezpieczna, matematyka to instrument ostry jak brzytwa
Nie pisz że się człon równa jeden , tylko że jego granica wynosi 1 albo że dąży do jedynki . Ale ogólnie dobrze kombinujesz.
-
- Użytkownik
- Posty: 115
- Rejestracja: 15 lis 2007, o 14:03
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 4 razy
Granica- funkcje trygonometryczne
Psiaczek pisze:
Nie pisz że się człon równa jeden , tylko że jego granica wynosi 1 albo że dąży do jedynki . Ale ogólnie dobrze kombinujesz.
Oczywiście, miałam na myśli, że jego granica wynosi 1, z rozpędu tak napisałam.
Czyli ogólnie granica tego wyrażenia, które podałam w pierwszym poście wyszła mi 0, bo 0 przez nieskończoność to 0, prawda?
-
- Użytkownik
- Posty: 115
- Rejestracja: 15 lis 2007, o 14:03
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 4 razy
Granica- funkcje trygonometryczne
Faktycznie, zauważyłam.
Mam: \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{ \frac{\sin(x)}{x} - \frac{\tg(x)}{x} }{x ^{2} + \frac{\tg(x)}{x} }}\)
Zostaje mi: \(\displaystyle{ = \frac{1-1}{0 + 1} = \frac{0}{1} = 0}\)
Teraz dobrze?
Mam: \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{ \frac{\sin(x)}{x} - \frac{\tg(x)}{x} }{x ^{2} + \frac{\tg(x)}{x} }}\)
Zostaje mi: \(\displaystyle{ = \frac{1-1}{0 + 1} = \frac{0}{1} = 0}\)
Teraz dobrze?
Ostatnio zmieniony 5 lis 2011, o 19:35 przez Kamilka54, łącznie zmieniany 1 raz.