Mam do obliczenia granice funkcji:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0^{+}} x^{sinx}}\)
wiem, że muszę skorzystać z reguły de l'Hospitala tylko jak to zrobić dla symbolu \(\displaystyle{ 0^{0}}\) ? Proszę o pomoc.
granica funkcji
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 26 lip 2011, o 16:51
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 6 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
granica funkcji
\(\displaystyle{ x^{\sin x}=e^{\ln x\sin x}=\exp(\ln x\sin x)}\)
Funkcja \(\displaystyle{ \exp}\) jest ciągła, więc:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0_+}\exp(\ln x \sin x)=\exp\left(\lim_{x\to 0_+}\ln x\sin x\right)=\exp\left(\lim_{x\to 0_+}\frac{\sin x}{(\ln x)^{-1}}\right)}\)
Wyrażenie
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0_+}\frac{\sin x}{(\ln x)^{-1}}}\)
to już granica postaci \(\displaystyle{ \frac 00}\).
Funkcja \(\displaystyle{ \exp}\) jest ciągła, więc:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0_+}\exp(\ln x \sin x)=\exp\left(\lim_{x\to 0_+}\ln x\sin x\right)=\exp\left(\lim_{x\to 0_+}\frac{\sin x}{(\ln x)^{-1}}\right)}\)
Wyrażenie
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0_+}\frac{\sin x}{(\ln x)^{-1}}}\)
to już granica postaci \(\displaystyle{ \frac 00}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 26 lip 2011, o 16:51
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 6 razy
granica funkcji
Wielkie dzięki! czyli jak mam symbol \(\displaystyle{ 0^{0}}\) to muszę przejść zawsze do postaci \(\displaystyle{ \exp^{lnx}}\) ?
Ostatnio zmieniony 20 wrz 2011, o 18:01 przez adaptacja_film, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
granica funkcji
Nie musisz, możesz udowodnic jakieś twierdzenie nt. takich granic i z tego twierdzenia korzystać, ale przejście do postaci wykładniczej jest wygodnei ogólne.