Matematyka.pl

Wyznacz asymptoty w funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x+3}{x^2-9}}\)
(x2 to jest x do kwadratu i cale wyrazenie x2 - 9 jest oczywiscie w mianowniku) Prosze o pomoc i o rozwiazanie tego przykładu, tylko tak jak dla debila czy szympansa bo kompletnie tego nie rozumiem jak i calej tematyki funkcji

Przy wyznaczaniu asymptot pionowych pomocne będzie wyznaczenie dziedziny funkcji.

A czy moze ktos napisac cale rozwiazanie do tego przykladu?

Do dziedziny nie należą \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ -3}\).
Asymptota pionowa:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 3^+} f(x)= \lim_{ x\to 3^+} \frac{x+3}{x^2-9}=\left[ \frac{6}{0^+} \right]=+\infty \\
\lim_{ x\to 3^-} f(x)= \lim_{ x\to 3^-} \frac{x+3}{x^2-9}= \lim_{ x\to 3^-} \frac{1}{x-3}= \left[ \frac{1}{0^-} \right]=-\infty}\)
Czyli \(\displaystyle{ x=3}\) asymptota pionowa obustronna.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -3^+}f(x)=\lim_{x \to -3^+} \frac{1}{x-3}=- \frac{1}{6} \\
\lim_{x \to -3^-} f(x)=\lim_{x \to -3^-} \frac{1}{x-3}=- \frac{1}{6}}\)
Czyli \(\displaystyle{ x=-3}\) nie jest asymptotą.

Asymptota ukośna albo pozioma (zależy co wyjdzie)
\(\displaystyle{ a= \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}= \lim_{x \to \infty} \frac{x+3}{x(x^2-9)}=0 \\
a= \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}= \lim_{x \to -\infty} \frac{x+3}{x(x^2-9)}=0 \\
\\
b= \lim_{ x\to \infty }f(x)-ax= \lim_{ x\to \infty } \frac{x+3}{x^2-9}=0 \\
b= \lim_{ x\to -\infty }f(x)-ax= \lim_{ x\to -\infty } \frac{x+3}{x^2-9}=0}\)
\(\displaystyle{ y=0}\) asymptota pozioma obustronna.

bardzo dziekuje