Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \ln\left(e+ \frac{1}{x}\right)}\)

Proszę o pomoc w obliczeniu asymptot.

No to zacznijmy od pionowej.
Policz granicę \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \ln\left( e+ \frac{1}{x} \right)}\) i jeżeli jest równa \(\displaystyle{ \pm \infty}\), to \(\displaystyle{ x=0}\) jest asymptotą pionową.-- 1 wrz 2011, o 23:51 --I jeszcze trzeba w drugim punkcie policzyć granicę, \(\displaystyle{ x=- \frac{1}{e}}\).

nie wychodzi, a nie wiem co robie zle ;/ bardzo prosze o rozwiazanie całego zad

Ta funkcja nie ma granicy w zerze. Ma tam granicę prawostronną. Ja bym zaczął od ustalenia dziedziny:


\(\displaystyle{ \begin{cases} x \neq 0 \\ e+ \frac{1}{x}>0 \end{cases}}\)


\(\displaystyle{ ex^2+x>0}\)


\(\displaystyle{ x\left( ex+1\right)>0}\)


\(\displaystyle{ D_f=\left( - \infty ,- \frac{1}{e} \right) \cup \mathbb{R}_+}\)


Teraz oblicz granice na krańcach określoności dziedziny. tzn.:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty }f\left( x\right)}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to - \frac{1}{e}^- }f\left( x\right)}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+ }f\left( x\right)}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty }f\left( x\right)}\)

-- 2 września 2011, 00:04 --

\(\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty } \ln \left( e+ \frac{1}{x} \right)=\ln \left( e+0\right)=1}\)


\(\displaystyle{ \lim_{x \to - \frac{1}{e}^- } \ln \left( e+ \frac{1}{x} \right)=\ln \left( e-e^-)=\ln 0^+=- \infty}\)



\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+ } \ln \left( e+ \frac{1}{x} \right)=\ln \left( e+ \infty )=+ \infty}\)



\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty } \ln \left( e+ \frac{1}{x} \right)=\ln \left( e+0\right)=1}\)

Majeskas pisze:Ta funkcja nie ma granicy w zerze. Ma tam granice jednostronne.

No ale przecież granice jednostronne są sobie równe:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} \ln\left(e+ \frac{1}{x}\right)=\infty \\
\lim_{x \to 0^-} \ln\left(e+ \frac{1}{x}\right)=\infty}\)

Ale spójrz na dziedzinę, którą wyznaczyłem. Ta funkcja nie jest określona w prawostronnym otoczeniu zera, ona tam nie istnieje. Ba! Nie istnieje nawet na całym przedziale \(\displaystyle{ \left[ - \frac{1}{e},0 \right]}\)

Jeśli nie przekonuje Cię dziedzina (choć powinna), wstaw sobie jakąkolwiek ujemną wartość bliską zera, to się przekonasz.

Skoro funkcja nie istnieje w lewostronnym otoczeniu zera, nie można liczyć tam granicy.-- 2 września 2011, 00:21 --Poprawiłem wcześniejszego posta, w którym napisałem, że funkcja ma w zerze granice jednostronne. Po wyznaczeniu dziedziny okazało się, że ma tylko granicę prawostronną.

Dobra, już wiem, o co chodziło...

Wielkie dzięki za pomoc