Matematyka.pl

No co ty... to jest działanie na poziomie gimnazjum. Przy potęgowaniu potęgi podstawę potęgi zostawiamy bez zmian, a wykładniki - ... ?

teraz to ja już nic nie wiem, nie wiem mnożymy wykładniki? będzie 4?

Tak, mnożymy. A więc jak wyglądać będzie nasza granica?

\(\displaystyle{ \frac{ \sin x \cdot \cos x }{( \cos x )^4}}\)

skróci się \(\displaystyle{ \cos}\)

i zostanie

\(\displaystyle{ \frac{ \sin x }{( \cos x )}}\)

mi to się już wszystko pomyliło...

Proszę w końcu zacząć stosować poprawny zapis funkcji trygonometrycznych!

Źle. Doszliśmy do takiej postaci (pomijam na razie symbol granicy)

\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{\frac{-2 \cdot \sin x \cdot \cos x}{( \cos ^ 4 x)}} = ...}\)

Pozbądź się piętrowego nawiasu poprzez pewne przekształcenia, a dokładniej zastępowanie dzielenia mnożeniem przez odwrotność mianownika. Mianownikiem jest tu\(\displaystyle{ \frac{-2 \cdot \sin x \cdot \cos x}{( \cos ^ 4 x)}}\). Jak nie wiesz o co chodzi, to zrób przykład na liczbach, np. ile wynosi \(\displaystyle{ \frac{5}{ \frac{10}{2} }}\) ?

no wiem wiem, tylko ja pewnie cos poknocę

\(\displaystyle{ \sin x \cdot \frac{ \cos ^ 4x}{2 \sin x \cdot \cos x }}\)

zostaje mi \(\displaystyle{ \frac{ \sin x \cdot \cos ^ 4x}{2 \sin x \cdot \cos x }}\)

to zostanie \(\displaystyle{ \frac{ \cos ^ 4x}{ \sin x \cdot \cos x }}\)

trzecia linijka jest źle. Dwójka w mianowniku zostanie, skróci się jeden sinus i jeden cosinus, jak wcześniej ustaliliśmy.

\(\displaystyle{ \frac{\cos^3x}{2 \sin x }}\)


teraz to już strzelam

no to prawie trafiłaś. Licznik jest ok, popraw mianownik. Skąd wziął Ci się tam jeszcze \(\displaystyle{ \sin x}\) ? Przecież zarówno w liczniku, jak i w mianowniku jest sinus w pierwszej potędze, tak więc po mojemu to się oba sinusy skrócą... i zostanie ile?

czyli w mianowniku zostanie tylko 2?


\(\displaystyle{ \frac{cos^3x}{2}}\)

Dobrze. Teraz przejdź do etapu, gdzie wyliczasz pochodną z \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos ^{2} x}}\) (chodzi mi dokładniej o siódmy post w temacie). Pomyliłaś minusy w tym obliczaniu, a dokładniej tutaj:

\(\displaystyle{ \frac{1' \cdot ( \cos ^ 2x)-1 \cdot ( \cos ^ 2x)'}{( \cos ^ 2x)^2} \\ = \frac{0 \cdot \cos ^ 2x-1 \cdot (2 \sin x \cdot \cos x )}{( \cos ^ 2x)^2}}\)

Ja tego nie zauważyłem w porę,

powinno być

\(\displaystyle{ \frac{1' \cdot ( \cos ^ 2x)-1 \cdot ( \cos ^ 2x)'}{( \cos ^ 2x)^2} \\ = \frac{0 \cdot \cos ^ 2x-1 \cdot (2 \cos x \cdot (- \sin x ))}{( \cos ^ 2x)^2}}\)

Pochodna z \(\displaystyle{ \cos ^{2} x}\) to \(\displaystyle{ 2 \cdot \cos x \cdot \left( \cos x\right)' = 2 \cdot \cos x \cdot (- \sin x)}\) .

\(\displaystyle{ \cos x}\) jest w tym przypadku funkcją wewnętrzną, a wiadomo, że \(\displaystyle{ \left( \cos x\right)' = - \sin x}\)

Aha no tak racja ja zgubiłam kwadrat

czyli pochodna z \(\displaystyle{ \frac{1}{ \cos ^ 2x}}\) to będzie
\(\displaystyle{ \frac{1' \cdot ( \cos ^ 2x) - 1 \cdot ( \cos ^ 2x)'}{( \cos ^ 2x)^2} = \frac{0- 1 \cdot (2 \cos x \cdot ( \cos x )'}{( \cos ^ 2x)^2} \\
= \frac{0- 1 \cdot (2 \cos x \cdot (- \sin x )}{( \cos ^ 2x)^2} =\\
\frac{-1 \cdot (-2 \cos x \sin x )}{( \cos ^ 2x)^2} = \frac{2 \cos x \sin x }{( \cos ^ 2x)^2} \\
= \frac{2 \cos x \sin x }{( \cos ^ 4x)}}\)

Dobrze, o to mi chodziło. A więc gdy pochodna z \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos^2 x}}\) (to było tylko obliczenie pomocnicze) wynosi tyle ile policzyłaś, to jest jasne, że pochodna z mianownika czyli \(\displaystyle{ 1 - \frac{1}{\cos ^{2} x}}\) będzie równa \(\displaystyle{ \frac{-2 \cdot \cos x \cdot \sin x}{\cos ^{4} x }}\) . Czyli w końcu otrzymamy

\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{\frac{-2 \cdot \cos x \cdot \sin x}{\cos ^{4} x }}}\) co po skróceniu da \(\displaystyle{ \frac{- \cos ^{3} x}{2}}\) . Wstaw zatem otrzymany wynik do granicy i ją oblicz.

\(\displaystyle{ \frac{- \cos ^ 2x}{2} - \frac{- \cos 0 ^3}{2} = \frac{-1^3}{1} = \frac{-1}{2}}\)-- 2 wrz 2011, o 11:36 --oo pomyliłam się miało być cos do potęgi 3

Wynik jest dobry, ale pamiętaj na przyszłość o tym, że:

- przy obliczaniu granic należy pisać przed ułamkiem symbol granicy (w tym przypadku \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}}\) ),

- taki zapis jak w powyższym poście jest nie do przyjęcia, ponieważ \(\displaystyle{ \cos ^{3} x \neq \cos x ^{3}}\) a z twojego zapisu wynika, że to jest równość; poza tym zauważ różnicę pomiędzy \(\displaystyle{ -1 ^{3}}\) a \(\displaystyle{ \left( -1 \right) ^{3}}\) . W pierwszym przypadku to tylko jedynka jest podnoszona do trzeciej potęgi, a minus - zawsze zostaje i dlatego niezależnie od potęgi wynik będzie \(\displaystyle{ -1}\). W drugim przypadku to liczba \(\displaystyle{ \left( -1 \right)}\) jest podnoszona do potęgi, a więc gdyby trzeba było podnieść do parzystej potęgi, to wynik będzie równy \(\displaystyle{ 1}\), np. \(\displaystyle{ \left( -1 \right) ^{4} = \left( -1 \right) \cdot \left( -1 \right) \cdot \left( -1 \right) \cdot \left( -1 \right) = 1}\)

Jeszcze jedno: \(\displaystyle{ \cos ^{3} x = (\cos x) ^{3}}\)