Reguła de L' Hospitala

[Toskaaa12]

hej Mam problem z rozwiązaniem kilku przykładów, było by fajnie gdyby ktoś mi pomógł;)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0 } \frac{\ln( \cos x )}{x}\\
\lim_{x\to 0 } \frac{x - \sin x }{x- \tg x } \\
\lim_{x\to 0 } \frac{1 - \cos ^ 2x}{x} \\
\lim_{x\to 0 } \frac{5^x-3^x}{ \tg x }}\)

[ares41]

I problem jest jaki? Wiesz na czym polega ta metoda?

[Toskaaa12]

wiem wiem, akurat uczę się do egzaminu i z tymi przykładami gdzieś nie potrafie dać sobie rady...Rozwiązuje je do pewnego momentu i się zacinam...

[ares41]

To pokaż to czego doszłaś. Sprawdzimy i wskażemy co dalej.

[Toskaaa12]

no i jeszcze przykład 3
\(\displaystyle{ \frac{-2 \sin x \cos x }{1}}\)

4
\(\displaystyle{ \frac{5^x \cdot \ \ln 5 -3^x \cdot \ \ln 3 }{ \frac{1}{ \cos ^ 2x} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{\ \ln 5 -\ \ln 3 }{ \frac{1}{ \cos ^ 2x} }}\) i nie wiem co dalej

za pierwsze to nie bardzo wiem jak sie zabrać ...
teraz 2.

\(\displaystyle{ \frac{1- \left( \cos x \right) }{1-\frac{1}{ \cos ^ 2x} }}\)- wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1-1}{1- \frac{1}{1} }}\) więc wychodzi 0, to wyciągam dalej pochodnie \(\displaystyle{ \frac{ \left[ 1- \left( \cos x \right) \right] '}{ \left[ 1-\frac{1}{ \cos ^ 2x} \right] ' }= \\ \frac{ \sin x }{ \frac{1}{ \sin x ^2} }=\frac{ \cos x }{ \frac{1}{ \cos ^ 2x} }}\)
i to będzie
= \(\displaystyle{ \frac{ \cos 0 }{ \frac{1}{ \cos ^ 20} }}\)

to wyjdzie \(\displaystyle{ \frac{1}{ \frac{1}{1} }}\)

nie bardzo umien sobie poradzić z tym \(\displaystyle{ \cos ^ 2x}\) i z wyciąganiem pochodnej z
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \cos ^ 2x}}\)
naprawde mam spory problem z tymi przykładami


oo przepraszam dopiero zaczynam z Latexem, nie wyszło mi osatnie;)
chodzi mi o to ze nie wiem jak mam wyciągnąć pochodną z
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \cos ^ 2x}}\)

[loitzl9006]

do 3

Tego minusa przed \(\displaystyle{ 2}\) nie będzie, bo pochodna licznika to \(\displaystyle{ -2 \cdot \cos x \cdot (-\sin x) = 2\sin x \cdot \cos x}\) .

\(\displaystyle{ 2 \cdot \sin x \cdot \cos x}\) to jest to samo co \(\displaystyle{ \sin 2x}\) .

do 4

\(\displaystyle{ \cos x}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\) ile wynosi?
\(\displaystyle{ \cos ^{2} x = \cos x \cdot \cos x}\)

do 2

Pochodną z \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos ^{2} x}}\) policzysz co najmniej dwoma poniższymi sposobami:
a) używając wzoru na pochodną ilorazu,
b) przedstawienia \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos ^{2} x}}\) jako \(\displaystyle{ \cos ^{-2} x}\), które jest równe \(\displaystyle{ (\cos x) ^{-2}}\) , a potem wzoru \(\displaystyle{ \left( \alpha ^{n}\right) ' = n \cdot \alpha ^{n-1}}\) pomocnego przy liczeniu pochodnych z wielomianów. Pamiętaj, że \(\displaystyle{ \alpha =\cos x}\) to funkcja wewnętrzna, natomiast \(\displaystyle{ n=-2}\).

co do tego pierwszego, to \(\displaystyle{ (\ln(\cos x))' = \frac{1}{\cos x} \cdot (\cos x)' = \frac{-\sin x}{\cos x} = - \tg x}\) - wzór na pochodną funkcji złożonej; \(\displaystyle{ \cos x}\) to funkcja wewnętrzna, a logarytm to f. zewnętrzna.

[Toskaaa12]

wielkie wielkie dzięki ;D

-- 1 wrz 2011, o 18:44 --

ale na wszelki wypadek spróbuje policzyć \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos^2x}}\)

wzór na pochodną ilorazu to \(\displaystyle{ \frac{f' \cdot g-f \cdot g'}{g^2}}\)

więc to by było tak
\(\displaystyle{ \frac{1' \cdot ( \cos ^ 2x)-1 \cdot ( \cos ^ 2x)'}{( \cos ^ 2x)^2} \\
= \frac{0 \cdot \cos ^ 2x-1 \cdot (2 \sin x \cdot \cos x )}{( \cos ^ 2x)^2} \\
=\frac{0-2 \sin x \cos x }{( \cos ^ 2x)^2} \\
= \frac{- \sin 2 x}{( \cos ^ 2x)^2}}\)

i co z tym dalej?

[ares41]

mianownik ma postać \(\displaystyle{ 1- \frac{1}{\cos ^{2} x}}\)

Jak pochodna z \(\displaystyle{ \frac{1}{ \cos ^ 2x}}\) to \(\displaystyle{ \frac{- \sin 2 x}{( \cos ^ 2x)^2}}\) (jest ok) , to pochodna z \(\displaystyle{ 1- \frac{1}{\cos ^{2} x}}\) to \(\displaystyle{ \frac{ \sin 2 x}{( \cos ^ 2 x)^2}}\) .

Pochodna z licznika to nic innego jak \(\displaystyle{ \sin x}\).

A więc możemy przedstawić naszą wyliczoną pochodną mianownika, czyli \(\displaystyle{ \frac{ \sin 2 x}{( \cos ^ 2 x)^2}}\) jako \(\displaystyle{ \frac{2 \cdot \sin x \cdot \cos x}{( \cos ^ 2 x)^2}}\)

Nasza granica przyjmie więc postać:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0 } \frac{\sin x}{\frac{2 \cdot \sin x \cdot \cos x}{( \cos ^ 2 x)^2}}}\)

Może spróbuj coś skrócić tutaj?

[Toskaaa12]

jeden sinus się skórci ?

[loitzl9006]

Tak, i jeden cosinus też.

*
Edit.

Jak pochodna z \(\displaystyle{ \frac{1}{ \cos ^ 2x}}\) to \(\displaystyle{ \frac{- \sin 2 x}{( \cos ^ 2x)^2}}\) (jest ok) , to pochodna z \(\displaystyle{ 1- \frac{1}{\cos ^{2} x}}\) to \(\displaystyle{ \frac{ \sin 2 x}{( \cos ^ 2 x)^2}}\) .

Źle... Jest odwrotnie, pomyliłem minusy, pochodna z \(\displaystyle{ 1- \frac{1}{\cos ^{2} x}}\) to oczywiście \(\displaystyle{ \frac{- \sin 2 x}{( \cos ^ 2 x)^2}}\)

[Toskaaa12]

czyli zostanie mi \(\displaystyle{ \frac{ \sin x }{ \sin x \cdot ( \cos x )^2}}\) ?

proszę zapoznać się z punktem 2.7 instrukcji LaTeX-a; działanie mnożenia oznacza się jako cdot

[loitzl9006]

Nie. Jak możesz inaczej zapisać \(\displaystyle{ \left(\cos ^ 2 x\right)^2}\) ?

[Toskaaa12]

nie mam zielonego pojęcia ;D \(\displaystyle{ ( \cos \cdot \cos)^2}\) Naprawde nie wiem

[ares41]

\(\displaystyle{ (\cos\cdot \cos)^2}\) - w ten sposób rozpisujesz tylko to, co znajduje się wewnątrz nawiasu, a więc samo \(\displaystyle{ \cos ^{2} x}\). A to ma być jeszcze wszystko do potęgi drugiej. Pomyśl.

\(\displaystyle{ \left(\cos ^ 2 x\right)^2 = \cos ^{n} x}\)

Co wstawisz za \(\displaystyle{ n}\) ?

[Toskaaa12]

no chyba 2