Matematyka.pl

Dlaczego nie miały by się z czym skrócić a coś takiego:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{2}{\sqrt{x ^{2}+1 }+ \sqrt{x ^{2}-1 }}=\lim_{ x\to \infty } \frac{x \frac{2}{x} }{x \left( \sqrt{1+ \frac{1}{x ^{2} } }+ \sqrt{1- \frac{1}{x ^{2} } } \right) }=\lim_{ x\to \infty } \frac{0}{ \sqrt{1+0} + \sqrt{1-0} }=\lim_{ x\to \infty } \frac{0}{2}=0}\)
Źle?

Te \(\displaystyle{ \frac{2}{x}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{ x^{2} }}\) potem są zerami bo takie ułamki zbiegają do 0 powinienem tam wszędzie dopisać limes po prostu.

Jak masz granicę \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{2}{\sqrt{x ^{2}+1 }+ \sqrt{x ^{2}-1 }}}\), to mianownik dąży do nieskończoności, a \(\displaystyle{ \left[ \frac{2}{\infty} \right]=0}\).

No ok rozumiem.
Możecie mi teraz wytłumaczyć czym różni się rozwiązywanie takich przykładów gdy zamiast \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty }}\) jak teraz będzie np tam nie zwykła nieskończoność a \(\displaystyle{ + \infty}\) czy \(\displaystyle{ -\infty}\)?

Zapis \(\displaystyle{ \infty}\) i \(\displaystyle{ + \infty}\) są równoważne.
Różnica?

Np.

\(\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty } x = - \infty \\ \\
\lim_{x \to + \infty } x = + \infty}\)

Ale:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty } \frac{1}{x} = 0 \\ \\
\lim_{x \to + \infty } \frac{1}{x}= 0}\)

To biorąc pod uwagę choćby poprzedni przykład, gdybyśmy tam zamienili \(\displaystyle{ \infty}\) na \(\displaystyle{ - \infty}\) to coś w rozwiązaniu by się zmieniło? Nie zmieniło by się różnica tylko jest gdy te granice są rozbieżne?

gdybyśmy tam zamienili \(\displaystyle{ \infty}\) na \(\displaystyle{ - \infty}\) to coś w rozwiązaniu by się zmieniło?

Nie.

różnica tylko jest gdy te granice są rozbieżne?

Sprawdź funkcję:
\(\displaystyle{ g(x) = \arctan x}\)

aalmond pisze: Sprawdź funkcję:
\(\displaystyle{ g(x) = \arctan x}\)

Dobra miejsza o to bo nawet nie wiem jak... chodzi mi bardziej o takie normalne przykłady na razie, takie bez sin, cos itd a tam chyba różnicy nie ma tak?

chodzi mi bardziej o takie normalne przykłady na razie, takie bez sin, cos itd a tam chyba różnicy nie ma tak?

Bez wnikania w szczegóły, dla funkcji podobnych do tych, które przedstawiłeś powyżej nie ma różnicy

A co można zrobić w takim przykładzie:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to- \infty }(2x ^{3}-3x ^{2}+x-5)}\)
Gdyby zamiast \(\displaystyle{ - \infty}\) była jakaś liczba to bym podstawił a tak trzeba z tego jakoś zrobić ułamek i poskracać tak? Tylko jak...

Wyrzuć największą potęgę przed nawias

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to- \infty }x ^{3} \left( 2- \frac{3}{x}+ \frac{1}{x ^{2}}- \frac{5}{x ^{3} } \right)}\)
I co mi to dało?

Nawias zbiega do 2 a ten x to \(\displaystyle{ - \infty}\) i wynikiem jest \(\displaystyle{ - \infty}\)?

Zgadza się.

To poproszę jeszcze o sprawdzenie dwóch rozwiązań:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to- \infty } \frac{2x-3}{3x ^{2}-x-2 }= \lim_{ x\to- \infty } \frac{x ^{2}\left( \frac{2}{x}- \frac{3}{x ^{2}}\right) }{x ^{2}\left( 3- \frac{1}{x}- \frac{2}{x ^{2} } \right) }= \frac{0-0}{3-0-0}=0}\)
i drugi:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to- \infty }\left( 5-3x-7x ^{3}-5x ^{5} \right)= \lim_{ x\to- \infty }x ^{5}\left( -5+ \frac{7}{x ^{2}}- \frac{3}{x ^{4} }+ \frac{5}{x ^{5} } } \right)= -\infty(-5)=- \infty}\)
Sczegulnie ten ostatni przykład gdy wychodzi \(\displaystyle{ - \infty}\) to znak zmieni się na \(\displaystyle{ + \infty}\) jeśli w nawiasie jest liczba ujemna czy będzie tak jak ja zrobiłem?

Jest dobrze. Unikałbym jednak zapisu typu \(\displaystyle{ -\infty(-5)}\). Interesuje nas tylko znak. Dlatego w takiej sytuacji przed nawias wyrzucaj \(\displaystyle{ -x ^{n}}\)

Mam teraz obliczyć granice jednostronne by sprawdzić czy funkcja ma granice w podanym punkcie:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{\left| x-1\right| }{x-1}, x _{0}=0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \frac{\left| x-1\right| }{x-1}}\)
\(\displaystyle{ \left| x-1\right|= \begin{cases} x-1 x \ge 1 \\ -x+1 x<1\end{cases}}\)
i robię:
strona lewa:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 ^{-} } \frac{-x+1}{x-1}=-1}\)
strona prawa:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 ^{+} } \frac{x-1}{x-1}=1}\)
\(\displaystyle{ -1 \neq 1 \Rightarrow}\)brak granicy
Ale w tej granicy prawej strony przyjmuję \(\displaystyle{ 0 ^{+}}\) a z rozpiski l. bezwzględnej wychodzi mi, że dopiero od \(\displaystyle{ 1}\) wartość jest równa \(\displaystyle{ x-1}\) czy tu chodzi tylko o liczby naturalne i mam dobrze czy w tym przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\) powinno być inaczej?