Oblicz granicę funkcji

[aalmond]

strona lewa:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 ^{-} } \frac{-x+1}{x-1}=-1}\)
strona prawa:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 ^{+} } \frac{x-1}{x-1}=1}\)

Dlaczego tu zmieniasz znak w liczniku?

[Giks]

No dlatego:
\(\displaystyle{ \left| x-1\right|= \begin{cases} x-1 x \ge 1 \\ -x+1 x<1\end{cases}}\)

[aalmond]

Nie o to mi chodzi. Dlaczego zmieniasz znak drugi raz przy liczeniu granicy prawostronnej?

[Giks]

Przy lewostronnej mamy \(\displaystyle{ 0 ^{-}}\) czli są to liczby na pewno mniejsze od 1 więc z tej rozpiski liczby bezwzględnej robię \(\displaystyle{ -x+1}\) natomiast przy stronie prawej bierzemy \(\displaystyle{ 0 ^{+}}\) a jeżeli bierzemy pod uwagę liczby \(\displaystyle{ \ge 1}\) to z rozpiski liczby bezwzględnej mamy już nie \(\displaystyle{ -x+1}\) a \(\displaystyle{ x-1}\)

[aalmond]

\(\displaystyle{ x \rightarrow 0 ^{+}}\) znaczy, że zbliżamy się do zera z prawej strony po liczbach dodatnich, bardzo bliskich wartości zero, a więc na pewno mniejszych od jedności.

[Giks]

aha czyli w obu przypadkach będzie wynik -1 i co za tym idzie granica istnieje?

[aalmond]

Tak.

[Giks]

A to dobrze zrobiłem:
\(\displaystyle{ f(x) \begin{cases} \frac{x ^{3}+8 }{x ^{2}-4 }, x<-2 \\3x+8, x>-2 \end{cases} x _{0}=-2}\)
strona lewa:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to-2 ^{-} }\frac{x ^{3}+8 }{x ^{2}-4 }=\lim_{x \to-2 ^{-} } \frac{(x+2)(x ^{2}-2x+4) }{(x-2)(x+2)}= \frac{12}{-4}=-3}\)
strona prawa:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to-2 ^{+} }3x+8=2}\)
\(\displaystyle{ -3 \neq 2 \Rightarrow}\)brak granicy

[aalmond]

Dobrze.