Matematyka.pl

Czy istnieje pojęcie określające uogólnienie pojęcia asymptoty, która może być opisana krzywą a niekoniecznie prostą, np:
\(\displaystyle{ x^2}\)
dla
\(\displaystyle{ f(x) = sin x + x^2}\)
Gdzie wartości funkcji \(\displaystyle{ F(x)}\) dążą do wartości \(\displaystyle{ x^2}\) dla \(\displaystyle{ x \rightarrow \pm \infty}\)


Przykład jest chyba niepoprawny, chodzi o samo zagadnienie

Podobnie \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^4+x^2+1}{x+2}}\) zachowuje się w \(\displaystyle{ \infty}\) jak \(\displaystyle{ x^3-2x^2+5x-10}\) (jeśli dobrze podzieliłem wielomiany). Idea jest jasna i oczywista. Badanie zachowań granicznych pewnych zjawisk czasem nazywa się asymptotyką. Chociaż w kursie szkolnym nie rozważa się asymptot innych niż linie proste. Ale jeśli pojmiesz, co to jest asymptota "prostoliniowa", to, jak zauważyłeś, niedaleka stąd droga do badania innych asymptot. Ma to oczywiście znaczenie praktyczne: istota rzeczy dla "dużych" \(\displaystyle{ x}\) tkwi właśnie w asymptocie, tj. w omawianym przeze mnie przypadku w wielomianie \(\displaystyle{ x^3-2x^2+5x-10,}\) a reszta nie wpływa znacząco na wartość funkcji. Jednak w podręcznikach nie ma na to nazw ani o tym się nie uczy. To w sumie dość trudny temat. Ludzie bardzo nie rozumieją pojęcia granicy. Granica na ogół jest łatwa do wyliczenia, ale uchwycenie,co ona oznacza, co mówi, dla osoby bez zmysłu matematycznego, jest bardzo trudne.

szw1710,

Hmmm.. mógłbyś rozwinąć swoją myśl ? ;]

Funktor, O czym? Trudności pojęcia granicy czy o asymptotach?

Arch_Stanton, przykład masz zły, bo różnica \(\displaystyle{ (\sin x+x^2)-x^2=\sin x,}\) co nie dąży do zera (w ogóle nigdzie nie dąży). Lepszy przykład: \(\displaystyle{ f(x)=\frac{\sin x}{x}+x^2.}\)

W sumie i o jednym i o drugim.

W kwestii asymptot: linię prostą \(\displaystyle{ y=ax+b}\) nazywamy asymptotą funkcji \(\displaystyle{ f}\) w \(\displaystyle{ \infty,}\) jeśli \(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0.}\) Podobnie można by funkcję \(\displaystyle{ g}\) nazwać asymptotą funkcji \(\displaystyle{ f}\) w \(\displaystyle{ \infty,}\) jeśli granica różnicy \(\displaystyle{ f-g}\) wynosi \(\displaystyle{ 0.}\) POwiedziałbym inaczej: funkcja \(\displaystyle{ f}\) zmierza asymptotycznie do \(\displaystyle{ g.}\) Zobaczmy na mój przykład. Mamy tam

\(\displaystyle{ \frac{x^4+x^2+1}{x+2}=x^3-2x^2+5x-10+\frac{21}{x+2}.}\)

Ułamek \(\displaystyle{ \frac{21}{x+2}}\) jest mały w \(\displaystyle{ \infty,}\) bo zmierza do zera. Zatem wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{x^4+x^2+1}{x+2}}\) zmierza asymptotycznie w \(\displaystyle{ \pm\infty}\) do \(\displaystyle{ x^3-2x^2+5x-10.}\)

Zawsze uczę moich studentów wyznaczać asymptoty prostoliniowe za pomocą dzielenia licznika przez mianownik (rozważam w przykładach funkcje wymierne). Więc jeśli po podzieleniu wielomian nie jest liniowy, to nie ma asymptoty prostoliniowej, ale łatwo widać, że jest "krzywoliniowa". No chyba, że pozioma, jeśli stopień licznika jest mniejszy albo równy od stopnia mianownika. W obecnym roku akademickim mówiłem coś o tym i część to zrozumiała i nawet się do tego zapaliła. Wzory to ostateczność - ważniejsze jest zrozumienie.

Co do trudności pojęcia granicy, to bynajmniej nie chodzi o wykucie na pamięć, że dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon}\) itd. Chodzi o pewne wyczucie, jak np.

\(\displaystyle{ \frac{x^2-4}{x-2}=x+2,}\)

więc jeśli \(\displaystyle{ x\approx 2,}\) to \(\displaystyle{ \frac{x^2-4}{x-2}=x+2\approx 4,}\)

ale dla samego \(\displaystyle{ x=2}\) nasze wyrażenie nie jest określone. Dobrym jego dookreśleniem jest nadanie właśnie wartości \(\displaystyle{ 4.}\) Jak widzisz, zahaczamy tu też o ciągłość. W każdym razie nie każdemu dane jest nabycie tego wyczucia, że chodzi o zbadanie, jak wartości funkcji zachowują się nie w punkcie "krytycznym", ale w jego sąsiedztwie, bardzo blisko niego. Na pytanie, czemu \(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=4}\) student odpowie wyliczeniem, podstawieniem \(\displaystyle{ x=2}\) i już. Ale wytłumaczenie, że przecież \(\displaystyle{ x}\) jest bliskie \(\displaystyle{ 2,}\) to po uproszczeniu widać, że wartość wynosi około \(\displaystyle{ 4,}\) leży już poza jego zasięgiem. A asymptoty to jeszcze gorsza sprawa. Zrozumienie, że jeden wykres "zmierza" do drugiego i w nieskończoności wyglądają tak samo, to już naprawdę nieosiągalne. Lepszym studentom polecam narysowanie wykresów na komputerze i stwierdzenie, że nie są rozróżnialne.

Trudne są więc teoretyczne podstawy wszystkiego, co wszystko opiera się na granicy: pochodna, całka. Choć tutaj można ładnie oprzeć się na polu figury. Granica to podstawa analizy. Ale też i bardzo trudne pojęcie. Do zrozumienia przez studenta, ale też i do dobrego wytłumaczenia.