Granica funkcji dwóch zmiennych

[Robson1416]

Witam, mam do policzenia taki przykład:
\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{x^3y}{x^2+y^2}}\)

Policzyć granicę oraz granice iterowane. Jak to zrobić ?

[Lorek]

Granice iterowane:
\(\displaystyle{ \lim_{y\to 0}\left(\lim_{x\to 0}f(x,y)\right)\\\lim_{x\to 0}\left(\lim_{y\to 0}f(x,y)\right)}\)
a co do granicy spróbuj skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ x^2+y^2\ge 2|xy|}\)

[Robson1416]

MAm taki pomysł, żeby:

\(\displaystyle{ 0 \le \frac{x^3y}{x^2+y^2} \le x^3 \frac{y}{x^2+y^2}}\)

Czyli z dołu ograniczam 0, a z góry\(\displaystyle{ x^3 = 0}\)

Czyli granica istnieje i wynosi 0.
Dobrze to ?

A co do iterowanych, to znam definicję, ale nie zbyt wiem jak ją zastosować.

[Lorek]

Ok, tyle, że jak już to tak \(\displaystyle{ x^2 \frac{xy}{x^2+y^2}}\) i jeszcze wszędzie moduły, bo \(\displaystyle{ \frac{y}{x^2+y^2}}\) w otoczeniu (0,0) ograniczone nie jest. A co do iterowanej liczysz po prostu po kolei. np
\(\displaystyle{ \lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0} \frac{x^3y}{x^2+y^2}}\)
liczysz najpierw \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{x^3 y}{x^2+y^2}}\) traktując \(\displaystyle{ y}\) jako stałą, i z tego co wyjdzie liczysz \(\displaystyle{ \lim_{y\to 0}}\)

[Robson1416]

Ok, tyle, że jak już to tak \(\displaystyle{ x^2 \frac{xy}{x^2+y^2}}\) i jeszcze wszędzie moduły, bo \(\displaystyle{ \frac{y}{x^2+y^2}}\) w otoczeniu (0,0) ograniczone nie jest. A co do iterowanej liczysz po prostu po kolei. np
\(\displaystyle{ \lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0} \frac{x^3y}{x^2+y^2}}\)
liczysz najpierw \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{x^3 y}{x^2+y^2}}\) traktując \(\displaystyle{ y}\) jako stałą, i z tego co wyjdzie liczysz \(\displaystyle{ \lim_{y\to 0}}\)

Lorek mógłbyś, rozpisać ten przykład z iteracyjnymi, bo coś nie mogę tego skumać

[Lorek]

Policz \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{x^3y}{x^2+y^2}}\) i napisz ile wychodzi.

[Robson1416]

Policz \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{x^3y}{x^2+y^2}}\) i napisz ile wychodzi.

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{x^3y}{x^2+y^2}=\lim_{x\to 0}\frac{ \frac{x^3y}{x^2} }{1+ \frac{y^2}{x^2} }=\lim_{x\to 0}\frac{xy}{1+\frac{y^2}{x^2}}=0}\)

Wg mnie ta granica to 0

[Lorek]

Wynik jest dobry, ale sposób...

[Robson1416]

Teraz jak mam obliczoną granicą z x to co dalej ?

[Lorek]

To teraz z tego co wyszło liczysz \(\displaystyle{ \lim_{y\to 0}}\)

[Robson1416]

To teraz z tego co wyszło liczysz \(\displaystyle{ \lim_{y\to 0}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{y\to 0}\frac{x^3y}{x^2+y^2}=\lim_{y\to 0}\frac{ \frac{x^3y}{y^2} }{1+ \frac{x^2}{y^2} }=\lim_{y\to 0}\frac{\frac{x^3}{y}}{1+\frac{x^2}{y^2}}=0}\)

Czyli też będzie 0.

Czy teraz jest dobrze? A co do sposobu, to dzielę przez \(\displaystyle{ y^2}\) (czyli największą potęgę z mianownika)

[Lorek]

Z tego co wyszło a nie z całej granicy!

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{x^3y}{x^2+y^2}=\lim_{x\to 0}\frac{ \frac{x^3y}{x^2} }{1+ \frac{y^2}{x^2} }=\lim_{x\to 0}\frac{xy}{1+\frac{y^2}{x^2}}=0}\)

Wg mnie ta granica to 0

Czyli liczysz \(\displaystyle{ \lim_{y\to 0}0}\)

A co do
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{xy}{1+\frac{y^2}{x^2}}}\)
to niby jest ok, ale nie do końca, bo w mianowniku mamy dzielenie przez 0. Lepiej jeszcze dodać komentarz:
\(\displaystyle{ \frac{y^2}{x^2}\ge 0}\) zatem \(\displaystyle{ \left|\frac{xy}{1+\frac{y^2}{x^2}}\right|\le \left|\frac{xy}{1}\right|}\)

[Rogal]

Pozostaje tylko pytanie - po jakiego szatana to w ogóle dzielić?

[Robson1416]

Z tego co wyszło a nie z całej granicy!

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{x^3y}{x^2+y^2}=\lim_{x\to 0}\frac{ \frac{x^3y}{x^2} }{1+ \frac{y^2}{x^2} }=\lim_{x\to 0}\frac{xy}{1+\frac{y^2}{x^2}}=0}\)

Wg mnie ta granica to 0

Czyli liczysz \(\displaystyle{ \lim_{y\to 0}0}\)

A co do
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{xy}{1+\frac{y^2}{x^2}}}\)
to niby jest ok, ale nie do końca, bo w mianowniku mamy dzielenie przez 0. Lepiej jeszcze dodać komentarz:
\(\displaystyle{ \frac{y^2}{x^2}\ge 0}\) zatem \(\displaystyle{ \left|\frac{xy}{1+\frac{y^2}{x^2}}\right|\le \left|\frac{xy}{1}\right|}\)

Czyli z tego co wyszło OKEJ:

\(\displaystyle{ \lim_{y\to 0}0}\) to będzie równe 0 i co koniec zadania ?

[Lorek]

I to masz policzoną granicę \(\displaystyle{ \lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0}f(x,y)}\), jeszcze pozostaje ta druga.

Fakt, dzielenie nie jest tu najlepszym rozwiązaniem, ale co kto lubi.