obliczyc granice funkcji

darphus · Post autor: **darphus** » 6 gru 2010, o 16:34

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to2 } \frac{x ^{3}-4x ^{2}+4x }{x ^{3}-12x+16 }}\)
jak to rozpisac?

wawek91 · Post autor: **wawek91** » 6 gru 2010, o 17:20

Rozłóż obydwa wielomiany. Tzn tak by otrzymac i w liczniku i mianowniku (x - 2).

darphus · Post autor: **darphus** » 6 gru 2010, o 17:28

no właśnie próbuje i próbuje i za cholere nie wychodzi.

Calfy · Post autor: **Calfy** » 6 gru 2010, o 17:33

Jeżeli chodzi o licznik, to nie powinno być problemu:
\(\displaystyle{ x ^{3}-4x ^{2}+4x=x(x^2-4x+4)=x(x-2)^2}\)

W mianowniku można zauważyć, że jednym z pierwiastków jest 2, więc wielomian jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonujemy więc dzielenie (dowolnym sposobem, wg mnie najszybciej korzystając z Hornera) i otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ x ^{3}-12x+16=(x-2)(x^2+2x-8)}\)
Wyznaczamy pierwiastki tego drugiego nawiasu (-4 i 2), bądź rozkładamy go na czynniki w pamięci. Zapisujemy więc:
\(\displaystyle{ (x-2)(x^2+2x-8)=(x-2)(x+4)(x-2)=(x+4)(x-2)^2}\)

darphus · Post autor: **darphus** » 6 gru 2010, o 17:47

i redukuje \(\displaystyle{ (x-2) ^{2}}\) i wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)