Reguła de l'hospitala wytłumaczenie

[darphus]

Witam mam pytanie odnośnie hospitala a dokładnie
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \frac{x}{lnx}\mathop {\stackrel{[H]}{=}}_{[ \frac{0}{ \infty }]}=0}\)
tutaj nie można reguly stosowac, ale chodzi mi o to na jakiej podstawie okresla sie pod rowna sie to czy to 0 czy nieskonczonosc?? Tego nie rozumiem, Podam kilka przykladow i jakby ktos moglby wytlumaczyc byloby fajnie
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to1+ } \frac{lnx}{ \sqrt{x ^{2}-1 } }\mathop {\stackrel{[H]}{=}}_{[ \frac{0}{0}]}}\)
Dlaczego tam logarytm dążył do nieskonczonosci a tutaj do 0??
\(\displaystyle{ \lim_{x \to+ \infty } \frac{x ^{4} }{e ^{x ^{2} } }\mathop {\stackrel{[H]}{=}}_{[ \frac{0}{0}]}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to+ \infty } \frac{sin \frac{1}{x} }{arc ctgx}}\)
Proszę wytłumaczyć na każdym przykładzie.
PS w pierwszym zrobilem blad nie moze byc H bo.

[Vieshieck]

Patrzysz do czego dąży osobno licznik, a osobno mianownik W 1 przykładzie, gdy x dąży do 0, to licznik (bo jest taki sam) też dąży do 0. Mianownik (ln x) dąży do nieskończoności, stąd taki zapis.

Dlaczego tam logarytm dążył do nieskonczonosci a tutaj do 0??

bo tam x->0, a tutaj x->1

[darphus]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to- \infty } \frac{e ^{ \frac{1}{x} }-1 }{ \frac{ \pi }{2} +arctgx}}\)
I tutaj tez jest \(\displaystyle{ [ \frac{0}{0}]}\)
a tam jest przeciez \(\displaystyle{ - \infty}\)
Dlaczego dąży do 0 a nie nieskonczonosci.

[Vieshieck]

x dąży do - nieskończoności

Wówczas i licznik i mianownik zbiegają do 0.

Na przykładzie licznika:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) zbiega do 0.
\(\displaystyle{ e^{0}}\) zbiega do 1.
\(\displaystyle{ 1-1}\) oczywiście zbiega do 0.

Mianownik analizujemy analogicznie