\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}} \left( \frac{\tg x}{x} \right) ^{ \frac{1}{ x^{3} } }}\)
Granica na wielokrotne zastosowanie tw de l`Hospitala. W Mathcadzie wychodzi nieskończoność. Mi wychodzi \(\displaystyle{ e^{ \frac{1}{18} }}\)
-- 23 listopada 2010, 23:30 --
rozpyka ktoś?
Granica na wielokrotne zastosowanie tw de l`Hospitala
-
matshadow
- Użytkownik
- Posty: 941
- Rejestracja: 17 gru 2007, o 21:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kingdom Hearts
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 222 razy
Granica na wielokrotne zastosowanie tw de l`Hospitala
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}} (\frac{tgx}{x}) ^{ \frac{1}{ x^{3} } }=e^{\lim_{x\to 0^{+}} ln(\frac{tgx}{x}) \cdot \frac{1}{ x^{3} } }}\)
Mamy w wykładniku potęgi symbol 0/0, korzystając z Hospitala i sprowadzając do wspólnego mianownika licznik dostajemy
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}} ln(\frac{tgx}{x}) \cdot \frac{1}{ x^{3} }\stackrel{[H]}{=}\lim_{x\to 0^{+}} \frac{x-cos x \cdot sin x}{3x^3 \cdot sin x \cdot cos x}=\lim_{x\to 0^{+}} \frac{2x-sin 2x}{3x^3 \cdot sin 2x}\stackrel{[H]}{=} \lim_{x\to 0^{+}} \frac{2-cos 2x}{9x^2 \cdot sin 2x+3x^3 \cdot cos 2x}=\frac{1}{0^{+}}=+\infty}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}} (\frac{tgx}{x}) ^{ \frac{1}{ x^{3} } }=e^{+\infty}=+\infty}\)
Mamy w wykładniku potęgi symbol 0/0, korzystając z Hospitala i sprowadzając do wspólnego mianownika licznik dostajemy
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}} ln(\frac{tgx}{x}) \cdot \frac{1}{ x^{3} }\stackrel{[H]}{=}\lim_{x\to 0^{+}} \frac{x-cos x \cdot sin x}{3x^3 \cdot sin x \cdot cos x}=\lim_{x\to 0^{+}} \frac{2x-sin 2x}{3x^3 \cdot sin 2x}\stackrel{[H]}{=} \lim_{x\to 0^{+}} \frac{2-cos 2x}{9x^2 \cdot sin 2x+3x^3 \cdot cos 2x}=\frac{1}{0^{+}}=+\infty}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}} (\frac{tgx}{x}) ^{ \frac{1}{ x^{3} } }=e^{+\infty}=+\infty}\)