granica funkcji podstawowych

[adrian_wroclaw]

korzystajac z granic podstawowych wyrazen nieoznaczonych obliczyc granice
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{ln(2+e^{3x})}{ln(3+e^{2x})}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to e } \frac{lnx^{3}-3}{x-e}}\)

[hubertwojtowicz]

1)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{ln(2+e^{3x})}{ln(3+e^2x)}= \lim_{x \to \infty} \frac{e^{ln(2+e^{3x})}}{e^{ln(3+e^2x)}}= \lim_{x \to \infty} e^{ln(2+e^{3x})-ln(3+e^2x)}= \lim_{x \to \infty}ln[ \frac{2+e^{3x}}{3+e^{2x}}]}\)
To mi wygląda na nieskończoność, bo argument logarytmu jest rzędu \(\displaystyle{ e^x}\) może się mylę.
2)
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to e } \frac{lnx^3-lne^3}{x-e}=\frac{ln \left( \frac{x}{e}\right) ^3 }{x-e}=3 \lim_{x \to 0} \frac{ln\frac{x+e}{e}}{x}= 3 \lim_{x \to 0} \frac{ln\left( \frac{x}{e}+1\right) }{x}= \frac{3}{e} \lim_{x \to 0} \frac{ln\left( \frac{x}{e}+1\right) }{ \frac{x}{e} }=\frac{3}{e}}\)

[adrian_wroclaw]

w odpowiedziach do 1) jest ze sie rowna \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\)

[Dasio11]

hubertwojtowicz, na jakiej podstawie pierwsze przejście w 1. ?

Tę granicę można policzyć np. używając szacowania

\(\displaystyle{ e^{3x}<2+e^{3x}<e^{3x+1} \\
e^{2x}<3+e^{2x}<e^{2x+1}}\)

[hubertwojtowicz]

to było bezpodstawne...