Mam taki mały problem. Bowiem nie było mnie na ostatnich zajeciach i chciałbym zaczerpnąć waszej pomocy. Mam Takie polecenie:
Korzystajac z definicji granicy uzasadnij podaną równość.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{3-n}{n+4} =-1}\)
Uzasadnienie podanej równości korzystajac z definicji granic
-
student1991
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 19 lis 2010, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wwa
- Podziękował: 1 raz
-
lukki_173
- Użytkownik
- Posty: 913
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
- Podziękował: 56 razy
- Pomógł: 218 razy
Uzasadnienie podanej równości korzystajac z definicji granic
Ja to widzę tak (nie wiem czy o takie rozwiązanie chodzi):
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{-n+3}{n+4}}\)
Widzimy zatem, że stopień licznika i mianownika w podanym ciągu jest taki sam, więc możemy skorzystać z własności, że porównujemy współczynniki i tak mamy: w liczniku \(\displaystyle{ -1}\), w mianowniku \(\displaystyle{ 1}\), dzielimy je przez siebie i otrzymujemy\(\displaystyle{ -1}\). Ogólnie rzecz biorąc, jeśli stopień licznika jest większy niż mianownika to ciąg dąży do \(\displaystyle{ \infty}\), jeśli jest odwrotnie to granicą jest \(\displaystyle{ 0}\), jeśli stopnie są równe, to tak jak wyżej opisałem (Twój przykład).
To jednak chodzi raczej o takie coś:
\(\displaystyle{ lim_{x \rightarrow \infty}{\frac{3-n}{n+4}}=-1 \Leftrightarrow \bigwedge\limits_{\epsilon>0} \bigvee\limits_{m \in N}\bigwedge\limits_{n>m,\\n \in N}|\frac{3-n}{n+4}-(-1)|< \epsilon}\)
Szacujemy (szukamy takiego \(\displaystyle{ m \in N}\), dla którego nierówność jest spełniona, dla każdego \(\displaystyle{ \epsilon}\)).
\(\displaystyle{ |\frac{3-n}{n+4}+\frac{n+4}{n+4}|=|\frac{3-n+n+4}{n+4}|=|\frac{7}{n+4}|=\frac{7}{n+4}< \epsilon}\)
Nierówność \(\displaystyle{ \frac{7}{n+4}}\) jest spełniona dla każdego \(\displaystyle{ n>\frac{7}{\epsilon}-4}\), wystarczy zatem za \(\displaystyle{ m}\) w definicji przyjąć \(\displaystyle{ m=\frac{7}{\epsilon}-4}\), aby nierówność była spełniona dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon}\).
Pozdrawiam
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{-n+3}{n+4}}\)
Widzimy zatem, że stopień licznika i mianownika w podanym ciągu jest taki sam, więc możemy skorzystać z własności, że porównujemy współczynniki i tak mamy: w liczniku \(\displaystyle{ -1}\), w mianowniku \(\displaystyle{ 1}\), dzielimy je przez siebie i otrzymujemy\(\displaystyle{ -1}\). Ogólnie rzecz biorąc, jeśli stopień licznika jest większy niż mianownika to ciąg dąży do \(\displaystyle{ \infty}\), jeśli jest odwrotnie to granicą jest \(\displaystyle{ 0}\), jeśli stopnie są równe, to tak jak wyżej opisałem (Twój przykład).
To jednak chodzi raczej o takie coś:
\(\displaystyle{ lim_{x \rightarrow \infty}{\frac{3-n}{n+4}}=-1 \Leftrightarrow \bigwedge\limits_{\epsilon>0} \bigvee\limits_{m \in N}\bigwedge\limits_{n>m,\\n \in N}|\frac{3-n}{n+4}-(-1)|< \epsilon}\)
Szacujemy (szukamy takiego \(\displaystyle{ m \in N}\), dla którego nierówność jest spełniona, dla każdego \(\displaystyle{ \epsilon}\)).
\(\displaystyle{ |\frac{3-n}{n+4}+\frac{n+4}{n+4}|=|\frac{3-n+n+4}{n+4}|=|\frac{7}{n+4}|=\frac{7}{n+4}< \epsilon}\)
Nierówność \(\displaystyle{ \frac{7}{n+4}}\) jest spełniona dla każdego \(\displaystyle{ n>\frac{7}{\epsilon}-4}\), wystarczy zatem za \(\displaystyle{ m}\) w definicji przyjąć \(\displaystyle{ m=\frac{7}{\epsilon}-4}\), aby nierówność była spełniona dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon}\).
Pozdrawiam