witam... mam problem z dwoma granicami i absolutnie nie wiem jak się za nie zabrać:
a) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to\ 0 } \frac{ \sqrt{2} - \sqrt{1+cosx} }{sin ^{2} x}}\)
b) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to\ 1} (1+lnx) ^{ \frac{1}{x-1} }}\)
bardzo prosze o pomoc
EDIT: rozwiązanie granic powinno być bez używania de'l Hospitala
dwie granice: z logarytmem i z trygonometrią
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
dwie granice: z logarytmem i z trygonometrią
a) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{ \sqrt{2} - \sqrt{1+\cos x} }{\sin ^{2} x}=\lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x})(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})}{\sin^2x(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{\sin^2x(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{(1-\cos^2x)(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{(1+\cos x)(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})}=\frac{\sqrt{2}}{8}}\)
b) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1} (1+\ln x) ^{ \frac{1}{x-1} }=\lim_{x\to 1}((1+\ln x)^{\frac{1}{\ln x}})^{\frac{\ln x}{x-1}}=\lim_{x\to 1}((1+\ln x)^{\frac{1}{\ln x}})^{\frac{\ln x-\ln 1}{x-1}}=e^{(\ln x)'(1)}=e^{\frac{1}{1}}=e}\)
(korzystamy po drodze z definicji liczby e, z ciągłości funkcji wykładniczej i różniczkowalności funkcji logarytmicznej (definicja pochodnej funkcji w punkcie)
b) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1} (1+\ln x) ^{ \frac{1}{x-1} }=\lim_{x\to 1}((1+\ln x)^{\frac{1}{\ln x}})^{\frac{\ln x}{x-1}}=\lim_{x\to 1}((1+\ln x)^{\frac{1}{\ln x}})^{\frac{\ln x-\ln 1}{x-1}}=e^{(\ln x)'(1)}=e^{\frac{1}{1}}=e}\)
(korzystamy po drodze z definicji liczby e, z ciągłości funkcji wykładniczej i różniczkowalności funkcji logarytmicznej (definicja pochodnej funkcji w punkcie)