Zbiór wartości wielomianu nieparzystego stopnia

[chlorofil]

Witam,

Próbuję pokazać, że zbiór wartości funkcji będącej wielomianem stopnia nieparzystego jest równy R. Wydawało mi się z początku, że nic prostszego - wystarczy wykorzystać twierdzenie Darboux. Moje rozumowanie było następujące:

Mamy wielomian:
\(\displaystyle{ W(x) = a_{1}x^{n} + a_{2}x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_{n}}\)

Jeśli \(\displaystyle{ a_{1}>0}\) to dla \(\displaystyle{ x \rightarrow -\infty}\) mamy \(\displaystyle{ W(x) \rightarrow -\infty}\) zaś dla \(\displaystyle{ x \rightarrow +\infty}\) mamy \(\displaystyle{ W(x) \rightarrow +\infty}\). Korzystając z faktu, że wielomian jest funkcją ciągłą i z tw. Darboux, możemy powiedzieć, że funkcja będzie przyjmowała wszystkie wartości pośrednie pomiędzy \(\displaystyle{ -\infty}\) a \(\displaystyle{ \infty}\). Analogicznie dla \(\displaystyle{ a_{1}<0}\). Jednak nie możemy tego twierdzenia wykorzystać, bo jest w nim mowa po pierwsze o przedziale domkniętym, a po drugie jest też mowa o najmniejszej i największej wartości funkcji. Nie ma mowy o nieskończonościach. Jak więc 'poprawić' mój dowód?

Pozdrawiam,
chlorofil

[bartek118]

Moim zdaniem wystarczy powiedzieć, że ma różne nieskończone granice + i - nieskończoności, i że po prostu jest ciągła w każdym punkcie dziedziny.
Można spróbować zrobić to tak, że bierzemy przedział [a, b] taki, że znajdują się w nim wszystkie miejsca zerowe, Potem pokazujemy, że na lewo i prawo od tego przedziału funkcja jest monotoniczna (z jednej strony rosnąca, a z drugiej malejąca, i że ma różne granice nieskończone w różnych nieskończonościach.

[chlorofil]

No właśnie nie musi być monotoniczna. Oczywiście w określonym przedziale będzie. Ale to wszystko trzeba jakoś formalnie zapisać. W tw. Darboux mowa jest o liczbach, nie o nieskończonościach...