Takie zagadnienie:
Nich \(\displaystyle{ f_n}\) będzie ciągiem funkcyjnym określonym następująco: \(\displaystyle{ f_n=}\)
\(\displaystyle{ n^2x}\) dla \(\displaystyle{ x \in [0,\frac{1}{n}]}\)
\(\displaystyle{ -n^2x+2n}\) dla \(\displaystyle{ x \in (\frac{1}{n},\frac{2}{n}]}\)
\(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ x>\frac{2}{n}}\)
Zbadać zbieżność punktową i jednostajną na \(\displaystyle{ R_+}\), oraz w metryce całkowej \(\displaystyle{ L^1}\) na przedziale \(\displaystyle{ [0,2]}\).
Czy potrafi ktoś rozwiązać?
Za wszelką pomoc z góry dziękuję.
Granica punktowa, jednostajna i całkowa
-
pipol
Granica punktowa, jednostajna i całkowa
Granica punktowa \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } f_n (x) =f(x)}\) gdzie \(\displaystyle{ f(x)=0}\) tożsamościowo na odcinku \(\displaystyle{ [0,2]}\)
Zbieżność ta nie jest jednostajna, gdyż \(\displaystyle{ \sup_{s\in [0,2]} |f_n (s)-f(s)|=n}\)
Zbieżność ta nie jest w sensie przestrzeni \(\displaystyle{ L^1}\), gdyż \(\displaystyle{ \int_{0}^{2} |f_ n(s) -f(s)|ds =1.}\)
Zbieżność ta nie jest jednostajna, gdyż \(\displaystyle{ \sup_{s\in [0,2]} |f_n (s)-f(s)|=n}\)
Zbieżność ta nie jest w sensie przestrzeni \(\displaystyle{ L^1}\), gdyż \(\displaystyle{ \int_{0}^{2} |f_ n(s) -f(s)|ds =1.}\)