Granica lewo i prawostronna- 0+ i 0-

[kolokolo]

\(\displaystyle{ \frac{2e^x-2}{|x|}}\)
przy x=>0
licznik dazy do 0+
mianownik do +niesk.
czyli 0?

przy x=<0
licznik dazy do +niesk
mianownik do 0-
Czyli -niesk?

Dobrze?

[Kamil_B]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{e^x -1}{x}=1}\)

[kolokolo]

Nie rozumiem, skoro x dazy do zera. To obojetnie jaka liczba podniesiona do zera daje 1. Co nam daje 1-1=0 i w mianowniku 0 ...jak Ci z tego 1 wyszlo?

[Kamil_B]

Twoje rozumowanie prowadzi tylko do symbolu nieoznaczonego
A udowodnic można to np. tak:
Kładziemy \(\displaystyle{ e^x-1=\frac{1}{t}}\), gdzie \(\displaystyle{ x \rightarrow 0^{+}}\)(analogicznie rozumujemy gdy \(\displaystyle{ x \rightarrow 0^{-}}\)).
Wtedy \(\displaystyle{ x=\ln(1+\frac{1}{t})}\) gdzie \(\displaystyle{ t \rightarrow +\infty}\). Stąd otrzymujemy po podstawieniu:
\(\displaystyle{ \lim_{t \to +\infty}\frac{t}{\ln(1+\frac{1}{t})}= \lim_{t \to +\infty}\frac{1}{\ln(1+\frac{1}{t})^t}}\).
Teraz korzystamy z ciągłości logarytmu i definicji liczby \(\displaystyle{ e}\), skąd wynika ,że szukana granica istotnie wynosi 1

[kolokolo]

to \(\displaystyle{ \frac{1}{t}}\) skad sie wzielo? Poprostu tak sobie podstawiles? Jesli tak to tam powinno byc
\(\displaystyle{ \lim_{t \to +\infty}\frac{ \frac{1}{t}}{\ln(1+\frac{1}{t})}}\). Jest jakas regula dzieki ktorej moglbym rozwiazywac te trudniejsze przyklady-taki jak ten?

[Kamil_B]

Tak ,istotnie powinno być \(\displaystyle{ \lim_{t \to +\infty}\frac{ \frac{1}{t}}{\ln(1+\frac{1}{t})}}\).
Dalej jest jednak ok
Czy jest jakaś reguła? Taką granicę np. warto znać.
Jak chcesz zoabczyc więcej takich ciekawych granic to polecam zajerzeć np. tutaj:
https://matematyka.pl/90940.htm

[kolokolo]

czyli bedzie 2 i -2?

[Kamil_B]

Zgadza się

[kolokolo]

Ave KamilB