Granica funkcji z parametrem

[Rekin]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} (1+mx)^{\frac{1}{1-cos2x}}\)

m to oczywiście parametr, pytanie w zadaniu jest następujące: dla jakiego m granica tej funkcji wynosi 2? Zadanie już raz przeliczyłem (sprowadziłem do symbolu nieoznaczonego 'obsługiwanego' przez regułę de'Hospitala, a następnie właśnie dwukrotnie użyłem tej reguły). Wynik, który mi wyszedł nie zgadza się z wynikiem jaki wyrzuca WolframAlpha. Jak rozwiązać takie cudo?




ps. poprawione, proszę o pomoc

[buba72]

Ja też liczyłam i obojętne jaki jest parametr m to wychodzi mi nieskończoność. Ale tak ponadto nie możesz dwukrotnie stosować reguły d'Hospitala. Czy aby przykład jest napewno dobrze przepisany? Bo jak by coś to chętnie jeszcze pomogę .

[pingu]

\(\displaystyle{ (1+mx)^{\frac{1}{1-cos2x}}=e ^{ \frac{1}{1-cos2x} \cdot ln(1+mx)}=e ^{ \frac{ln(1+mx)}{1-cos2x} }= ^{H}...}\)

resztę proszę dokończyć

regułę de'Hospitala można stosować nawet kilka razy, jeśli tylko spełnione są założenia twierdzenia

pozdrawiam
pingu

[buba72]

dokładnie tak mi też wyszło, ale po obliczeniu granicy wykładnika i zastosowania reguły d'H wychodzi granica wykładnika
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} { \frac{m}{(1+mx)(2sin2x)} }=}\)
i jak tu można po raz drugi stosować regułę d'H ????

[klaustrofob]

tu nie jest potrzebny Hospital. po zlogarytmowaniu mamy obliczyć granicę: \(\displaystyle{ \frac{\ln(1+mx)}{1-\cos 2x}=\frac{\ln(1+mx)}{x}\cdot \frac{x}{\sin^2 x}}\). pierwszy iloraz ma granicę m (na podstawie wzoru \(\displaystyle{ \lim_{y\to 0}\frac{\ln(1+y)}{y}=1}\)), a drugi...
dlatego zamiast mx powinno raczej być \(\displaystyle{ mx^2}\)

[buba72]

zgadzam się, \(\displaystyle{ mx^{2}}\) załatwiało by sprawę, więc albo jest błąd w książce, albo rekin źle napisał, wówczas dla m= 4, żądana granica wynosi 2

[Rekin]

Przykład jest dobrze przepisany, to zadanie z egzaminu z analizy matematycznej (dla I roku informatyki -WM Politechnika Krakowska) z zeszłego roku. Stosowałem drugi raz de'Hospitala bo najzwyczajniej w świecie pomyliłem się przy pierwszej próbie z tą regułą,a przecież raz wystarcz

[buba72]

No to jeżeli przykład jest dobrze napisany to nie istnieje taki parametr m, dla którego ta granica wynosiłaby 2.

[Rekin]

Okej, dziękuję za pomoc wszystkim i wszystkie rozważania