Zbieżność ciągu i szeregu; granice i asymptoty funkcji

Zepp · Post autor: **Zepp** » 21 kwie 2006, o 13:55

Witam.
Chciałbym Was prosić o pomoc gdyż mam problem z następującymi zadaniami. Nie bardzo wiem jak sie za nie zabrac . Czekam na Wasze wskazówki i porady. Z góry dziękuje za pomoc i poświecony czas.

Zad.1
Oblicz sumę 20-stu początkowych wyrazów następującego ciagu liczbowego

\(\displaystyle{ b_{n}=120+(n-1)\cdot 6}\)

Zad.2
Zbadaj zbieżność ciągu

\(\displaystyle{ g_{n}=({2n+1\over 2n})^{4n+2\over 3}}\)

Zad.3
Zbadaj zbieżność szeregu

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}=(1-{1\over n})^n^2}\)

Zad.4
Oblicz granice funkcji

\(\displaystyle{ \lim_{n\to{\pi\over 6}} {ctgx- \sqrt{3}\over x- {\frac{\pi}{6}}}\)

Zad.5
Wyznacz asymptoty funkcji:

\(\displaystyle{ {x^2\over x^2-1}}\)

Pozdrawiam
Zepp

piwcuk · Post autor: **piwcuk** » 21 kwie 2006, o 14:58

w zadaniu 1 myślę ze wystarczy po prostu podstawić za n liczbę 1, obliczyć wartość, poźniej liczbę 20 i także obliczyc wartosc, łatwo się zorientować ze jest to ciag arytmetyczny, więc można skorzystać ze wzoru na sumę:

\(\displaystyle{ S=\frac{b_{1}+b_{20}}{2}*20}\)

Zadania 5 nie jestem pewny ale ja bym to zrobił tak, że po pierwsze to dwie asymptoty pionowe x=-1 i x=1 wynikają z tego, że \(\displaystyle{ x^{2}-1}\) ma być różne od zera.
Ponadto funkcja może być zapisana w postaci \(\displaystyle{ \frac{x^{2}-1+1}{x^{2}-1}}\) co daje \(\displaystyle{ 1+\frac{1}{x^{2}-1}}\) tak więc asymptota pozioma to y=1.

Tristan · Post autor: **Tristan** » 21 kwie 2006, o 14:59

Tak mało ambitnie zacznę
Zad.1
\(\displaystyle{ b_{n}=120+6(n-1)=6n+114}\)
Korzystasz z wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \(\displaystyle{ (a_{n})}\) \(\displaystyle{ S_{n}=\frac{a_{1} + a_{n}}{2} n}\).
Podstawiając do wzoru mamy:
\(\displaystyle{ S_{20}=\frac{6+114+120+114}{2} 20}\)
\(\displaystyle{ S_{20}=3540}\)

Zepp · Post autor: **Zepp** » 21 kwie 2006, o 22:10

A moglby mi ktos krok po kroku wyjasnic jak wyznaczyc asymptoty funkcji w zadaniu 5?

piwcuk · Post autor: **piwcuk** » 21 kwie 2006, o 22:28

no przeciez napisalem :]

Zepp · Post autor: **Zepp** » 22 kwie 2006, o 00:05

No ale jakos tak dziwnie . Przeciez to trzeba jakos wyliczyc...limes itp...

piwcuk · Post autor: **piwcuk** » 22 kwie 2006, o 15:50

hm .. to policz granice wyrażenia przekształconego przeze mnie i otrzymasz asymptotę poziomą 1. A asymptoty pionowe wynikają z tego, że wartość x nigdy nie może wynosić 1 i -1 bo nie można dzielić przez 0

Auryn · Post autor: **Auryn** » 22 kwie 2006, o 16:02

Zepp wyliczenie asymptoty y=1 wyglada nastepująco:

liczysz granice tej funkcji przy x dążącym do nieskończoności, jest niewłaściwa więc zapisujesz to tak jak piwcuk i przy x dążącym do nieskończoności wychodzi ci granica równa 1.

więc y=1

`vekan · Post autor: **`vekan** » 22 kwie 2006, o 17:03

zauważ że \(\displaystyle{ \frac{1}{x^2 -1}}\) zawsze dąży do 0 bo x dązy do nieskończoności czyli zostaje 1. stąd y=1

Rogal · Post autor: **Rogal** » 22 kwie 2006, o 18:11

Ten szereg z Cauchy'ego wyszedł zbieżny.

Zepp · Post autor: **Zepp** » 27 kwie 2006, o 11:13

A kto mi pomoże rozwiązac reszte zadan?

Sir George · Post autor: **Sir George** » 27 kwie 2006, o 12:06

Ad zad.4.

Zauważ, że \(\displaystyle{ \sqrt{3}=\mbox{ctg} \frac{\pi}{6}}\), czyli otrzymane wyrażenie to nic innego, jak tylko granica ilorazu różnicowego, czyli pochodna funkcji \(\displaystyle{ \mbox{ctg} x}\) w punkcie \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{6}}\).

Ad zad.2. Doprowadź do postaci \(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{\alpha(n)}\right)^{\beta\cdot\alpha(n)}}\) ...

do administratora: TeX nie przyjmuje komend dla tangensa i cotangensa przyjętych w Polsce.... czy można to poprawić?

piwcuk · Post autor: **piwcuk** » 27 kwie 2006, o 22:12

Zepp pisze:A kto mi pomoże rozwiązac reszte zadan?

ja nie, bo nie uslyszalem slowa dziekuje za poprzednie dwa :]

Grzegorz Getka · Post autor: **Grzegorz Getka** » 28 kwie 2006, o 11:11

Zepp pisze:A kto mi pomoże rozwiązac reszte zadan?

Którego zadania jeszcze nie umiesz, bo się pogubiłem.