Granica funkcji.

[marcin-tryka]

witam, mam obliczyc Taka oto granice:
[x-(1+x)ln(1+x)] / [(x^2)*(1+x)]
po x dazacych do zera. Uzylem d'hospitala, ale ciagle zostaje mi ten jeden x w mianowniku, przez ktory nie moge podstawic zer :/ Nie bardzo wiem jak to zrobic.

[Zielony]

niedokońca wiem jak wygląda ten Twój limes... gdybyś mógł trochę go czytelniej zapisać byłbym wdzięczny...
w szczególności chodzi mi o ten fragment podkreślony, a najbardziej o ten podkreślony i pogróbiony
[x-(1+x)ln(1+x)] / [(x^2)*(1+x)]

tam jest mnożenie?

pozdrowienia!

[marcin-tryka]

[x-(1+x)*ln(1+x)] / [(x^2)*(1+x)]

[kej.ef]

No to ja zrobilem to tak:
lim[x->0]([x-(1+x)*ln(1+x)] / [(x^2)*(1+x)])=
[regula de l`Hospitala]
=lim[x->0]([-ln(1+x)-(1+x)*1/(1+x)]/[2x(1+x)+x^2])=
=lim[x->0]([(-ln(1+x)-1)/(2(1+x)+x)] * 1/x)=
[teraz mamy iloczyn, w ktorym pierwszy czlon:
[(-ln(1+x)-1)/(2(1+x)+x)] przy x->0 dazy do -1/2
natomiast drugi czlon:
1/x przy x->0 dazy do plus lub minus nieskonczonosci (+inf lub -inf).
Musimy wiec nasza granice rozbic na dwie granice:
x->0- i x->0+ (x dazace do 0 z lewej strony i x dazace do 0 z prawej)]

Mamy wiec:
1. lim[x->0+]([(-ln(1+x)-1)/(2(1+x)+x)] * 1/x)= -inf
(bo pierwszy czlon dazy do -1/2 a drugi do +inf; mamy wiec: "-1/2*(+inf)" co "daje" -inf)
2. lim[x->0-]([(-ln(1+x)-1)/(2(1+x)+x)] * 1/x)= +inf
(z powodow analogicznych j.w.)

Pozdrawiam

[marcin-tryka]

Dziekuje

[marcin-tryka]

Oto rozwiazanie:

kej.ef, Twoje rozumowanie bylo dobre, jednak wprowadzilem Cie w blad na samym poczatku. nie mozemy przeciez uzyc tu de l`Hospitala bo w liczniku nie mamy int, tylko int-int. W kazdym razie dzieki