Symbole nieoznaczne

[roman_g]

Witam!

Mam takie pytanie: ile to jest \(\displaystyle{ 0^{0}}\)? i co to w ogóle jest "symbol nieoznaczony"?
Oczywiste jest, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\ x^{x} = \lim_{x\to0}\ exp^{xlnx}=\lim_{x\to0}\ exp^{\frac{lnx}{\frac{1}{x}}}=(H)=\lim_{x\to0}\ exp^{\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}}}=\lim_{x\to0}\ exp^{-x}=1}\)

ale czy \(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\ x^{x} = 0^{0}}\)?
Jeżeli tak to równie dobrze można by powiedzieć, że \(\displaystyle{ \frac{2}{0}=\lim_{x\to0}\frac{2}{x}=\infty}\). A to raczej nie jest prawdą, bo przez \(\displaystyle{ 0}\) dzielić nie wolno...

Czy w takim razie \(\displaystyle{ \frac{2}{0}}\) jest symbolem nieoznaczonym (bo występuje dzielenie przez \(\displaystyle{ 0}\) - a to nie jest dopuszczalne (określone) w matematyce)?

Jeżeli tak to zauważmy, że \(\displaystyle{ 0^{2}=exp^{2ln0}}\), a \(\displaystyle{ ln0}\) nie istineje (bo oczywiście \(\displaystyle{ ln0\neq\lim_{x\to0}\ lnx}\)), czyli mamy, że \(\displaystyle{ 0^{2}}\) jest nieokreślone....


Słyszałem juz wielokrotnie, że \(\displaystyle{ 0^{0}}\) to symbol nieoznaczony, słyszałem również, że \(\displaystyle{ 0^{0} = 1}\), ale nikt nigdy nie wyjaśniał dlaczego?
Zatem ile to jest (tak naprawde ) \(\displaystyle{ 0^{0}}\) i dlaczego...??
No i ile to jest \(\displaystyle{ 0^{\alpha}}\), \(\displaystyle{ \alpha\in R}\) ??

pozdrawiam wszystkich;)

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ (\frac{1}{n})^{\frac{1}{n}} .... 1}\)

[roman_g]

hhhmmm... i co w związku z tym, że:

\(\displaystyle{ (\frac{1}{n})^{\frac{1}{n}} .... 1}\)

....??

[juzef]

ale czy \(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\ x^{x} = 0^{0}}\)?

Nie, \(\displaystyle{ 0^0}\) jest symbolem nieoznaczonym. Co nie zmienia faktu, że ta granica istnieje i została poprawnie policzona.
Zgodnie z Twoim tokiem rozumowania można napisać, że \(\displaystyle{ 1=\frac{n}{n}=\lim_{n \to }\frac{n}{n}=\frac{\infty}{\infty}}\), a to jest symbol nieoznaczony.

Jeżeli tak to zauważmy, że \(\displaystyle{ 0^{2}=exp^{2ln0}}\)

Bzdura.

[roman_g]

Zgodnie z Twoim tokiem rozumowania można napisać, że \(\displaystyle{ 1=\frac{n}{n}=\lim_{n \to }\frac{n}{n}=\frac{\infty}{\infty}}\), a to jest symbol nieoznaczony.

w którym miejscu "rozumowałem" podobnie?

\(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{n}{n}=\lim_{n \to }\ 1=1}\)

Gdzie konkretnie jest błąd w przekszałceniach dokonywanych przeze mnie?
Korzystając ze znanych wzorów: \(\displaystyle{ a^{b}=\exp^{\ln a^{b}}}\), \(\displaystyle{ \ln{a^{b}}=b\ln a}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ 0^{2}=\exp^{\ln 0^{2}}=\exp^{2\ln0}}\)
Co konkretnie jest źle?

[Lady Tilly]

Znalazłam bardzo ciekawy tekst związany z symbolami nieoznaczonymi i radzę Ci przeczytać [link wygasł]
to wiele rozjaśni Ci chyba.

[roman_g]

Symbol nieoznaczony może przyjąć dowolną wartość, na tym właśnie polega jego nieoznaczoność.

Ok, faktycznie bardzo ciekawy artykuł.
Jednak wg niego z symbolami nieoznaczonymi mamy do czynienia tylko w granicach. W takim wypadku wnioskuje, że \(\displaystyle{ 0^{0}}\) jest po prostu nieokreślone, a nie nieoznaczone... ??

[juzef]

Troszkę później mi się przypomniało, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} x^x}\) nie istnieje, a istnieje tylko \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+}x^x}\). Te znane wzory z których korzystasz działają jedynie przy określonych założeniach. Jednym z nich jest dodatni argument logarytmu.

[roman_g]

Te znane wzory z których korzystasz działają jedynie przy określonych założeniach. Jednym z nich jest dodatni argument logarytmu.

Korzystając z własności liczb zespolonych
\(\displaystyle{ exp^z=exp^x(cosy+isiny)}\) oraz \(\displaystyle{ Logz=ln|z|+iArgz}\) dla \(\displaystyle{ z=x+iy}\)
mamy, że są prawdziwe również dla liczb ujemnych...
Np.: \(\displaystyle{ (-2)^{3}=exp^{3ln(-2)}=exp^{3(ln2 + i\pi)}=exp^{3ln2} exp^{i3\pi}=8\cdot(-1)=-8}\)

Więc zastanawiałem się, czy wzór "nie działa" tylko dla \(\displaystyle{ a=0}\), czy działa zawsze, a potęgowanie zera jest po prostu "zabronione"...,
ale faktycznie chyba implikacja \(\displaystyle{ blna a^{b}}\) w drugą stronę nie jest zawsze prawdziwa (bo argument logarytmu musi być różny od zera).
Ok, to powiedzmy, że sprawę "\(\displaystyle{ 0^{2}}\)" mamy już załatwioną, ale czy potrafi ktoś wyjaśnić dlaczego \(\displaystyle{ 0^{0}}\) nie istnieje?
albo dlaczego np. \(\displaystyle{ 2^{0}=1}\), a nie np \(\displaystyle{ 10}\) - z czego to wynika?

[mikesz14]

patrz

\(\displaystyle{ 1=\frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0}\) przy czym \(\displaystyle{ a\not = 0, n\not = 0}\)

[roman_g]

...ano faktycznie;)

czasami najtrudniej wpaść na najprostsze rozwiązanie...

dzięki za pomoc...
pozdrawiam;)

[mikesz14]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\ x^{x} = 0^{0}}\)

Odnosnie pojecia granicy Jest to tylko sugestia do jakiej wartości dane wyrazenie zmierza ale nie koniecznie jest rowne tej wartosci tak wiec wnioskowanie \(\displaystyle{ 0^0=1}\) na podstawie tego iz granica zmierza do \(\displaystyle{ 0^0}\) a po przeksztalceniach jej wartosc zostala ustalona jako 1 nie wydaje sie do konca sluszne przynajmniej nie zawsze

\(\displaystyle{ 0^0}\) jest symbolem nieoznaczonym jak sama nazwa wskazuje nie mozna jednoznacznie przypisac temu wyrazeniu wartosci. Zaowaz, ze eliminujac symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ \frac{\infty}{\infty}}\) mozemy otrzymac rozne wartosci wiec raczej dowod rownosci \(\displaystyle{ 0^0=1}\) z wykorzystaniem wlasnosci granic nie jest najlepszym pomyslem

\(\displaystyle{ \frac{2}{0}=\lim_{x\to0}\frac{2}{x}=\infty}\)

Nie kapuje o co chodzi :/

Jeżeli tak to zauważmy, że \(\displaystyle{ 0^{2}=exp^{2ln0}}\) a \(\displaystyle{ ln0}\) nie istineje (bo oczywiście \(\displaystyle{ ln0\neq\lim_{x\to0}\ lnx}\)), czyli mamy, że \(\displaystyle{ 0^{2}}\) jest nieokreślone....

Wyrazenie \(\displaystyle{ ln0}\) jest sprzeczne z pojeciem logarytmu . \(\displaystyle{ 0^2}\) z definicji potegi jest równe \(\displaystyle{ 0^2=0\cdot 0 =0}\) dowod:
\(\displaystyle{ 0\cdot (1-1)=0\cdot 1-0\cdot 1=0-0=1-1-0=1-0-1=1-1=0}\) to patrz


\(\displaystyle{ 0^{\alpha}}\), \(\displaystyle{ \alpha\in R}\) - w definicji funkcji wykladniczej mowa ze podstawa jest liczba dodatnia byc moze dlatego ze trudno znalesc uzasadnienie np ile rowna sie \(\displaystyle{ 0^{\sqrt{2}}}\) czarna magia po prostu jak cala matematyka

pozdrawiam wszystkich;)[/quote]

[ Dodano: 23 Lipiec 2006, 19:26 ]
probuj narysuwac wykres funkcji wyjkladniczej przy podstawie 0 moze to jest jakis sposob

[bolo]

Ok, to powiedzmy, że sprawę "\(\displaystyle{ 0^{2}}\)" mamy już załatwioną, ale czy potrafi ktoś wyjaśnić dlaczego \(\displaystyle{ 0^{0}}\) nie istnieje?

\(\displaystyle{ 0^{x}=0\,\Leftrightarrow\,x\neq 0\\x^{0}=1\,\Leftrightarrow\,x\neq 0}\)

Była tu mowa o wykresie funkcji wykładniczej o podstawie \(\displaystyle{ 0}\). Zauważmy, że im bardziej podstawa zbliża się do \(\displaystyle{ 0}\), to wykres tej funkcji zbliża się coraz bardziej do wykresu \(\displaystyle{ y=1}\) (z wyłączeniem \(\displaystyle{ x=0}\)).

[roman_g]

\(\displaystyle{ 0^{x}=0\,\Leftrightarrow\,x\neq 0}\)

Nieprawda !!

Zauważmy, że np dla \(\displaystyle{ x=-2}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ 0^{-2}=\frac{1}{0^{2}}=\frac{1}{0}}\), a przez \(\displaystyle{ 0}\) dzielić nie wolno!!

Jako ciekawostke napisze może, że Windows'owy kalkulator liczy nam tak:
1) \(\displaystyle{ 0^{0}=1}\)
2) \(\displaystyle{ \frac{2}{0}=}\)Nie mozna dzielic przez 0

Przy czym dla mnie obliczenie 1) jest ZŁE!

[bolo]

Tak, sorry, miało być \(\displaystyle{ x> 0}\)