Granice jednostronne- kiedy istnieją?

[Jakub Gurak]

Potrzebuje poznać dokładne brzmienie pewnego (pewnie prostego) faktu, a w internecie nie mogę nic znaleźć( ja to lubię nietypową matematykę).

Niech \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) będzie funkcją silnie rosnącą. Niech \(\displaystyle{ a \in\RR}\) będzie punktem nieciągłości. Wtedy istnieje
granica dolna \(\displaystyle{ \lim_{ x\to a ^{-} } f(x) }\), ponieważ funkcja jest rosnąca i ograniczona z góry... Podobnie istnieje granica górna \(\displaystyle{ \lim_{ x\to a ^{+} } f(x).}\)

I teraz pytam: z jakiego faktu, odnośnie granic jednostronnych, tu korzystają W Internecie nic nie znalazłem, a istnienie granicy lewostronnej i prawostronnej może mi się przydać( nie tylko w celu rozumienia tego dowodu z ważniaka, ale nawet może mi się przydać w pewnym problemie, nad którym od wczoraj pracuje, więc aby zastosować ten fakt, muszę poznać jego dokładne brzmienie).

I jeszcze jedno pytanie: Czy granica lewostronna funkcji w punkcie i granica prawostronna funkcji w punkcie są zawsze wyznaczone jednoznacznie (tzn. zawsze są jedyne)??

[matmatmm]

Funkcja monotoniczna o dziedzinie \(\displaystyle{ D\subset\RR}\) i wartościach rzeczywistych ma zawsze granice jednostronną w punkcie \(\displaystyle{ a\in\overline{\RR}}\) pod warunkiem, że \(\displaystyle{ a}\) jest punktem skupienia zbioru \(\displaystyle{ D\cap(-\infty,a)}\) w przypadku granicy lewostronnej lub \(\displaystyle{ D\cap(a,+\infty)}\) w przypadku prawostronnej.

I jeszcze jedno pytanie: Czy granica lewostronna funkcji w punkcie i granica prawostronna funkcji w punkcie są zawsze wyznaczone jednoznacznie (tzn. zawsze są jedyne)??

Tak. Granice jednostronne są szczególnymi przypadkami granicy funkcji o wartościach w przestrzeni Hausdorffa.

Dodam jeszcze, że granica dolna i górna to nie to samo co jednostronna. Twój post sugeruje pomylenie tych pojęć.