Dzień dobry
Proszę o pomoc i wskazówki, bo nie mam pomysłów na te granice.
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } x \sin \frac{1}{x} }\)
Gdyby dążyło to do zera, to by to było oczywiste.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 1} (1-x)\tg \frac{x\pi }{2} }\)
Na razie tyle, potem dopiszę więcej/zrobię kolejny wątek.
Zadanie z granic bez L'Hospitala
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Zadanie z granic bez L'Hospitala
Cześć, czy na wykładzie / ćwiczeniach dowiedziałaś się o tym, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1}\)?
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Zadanie z granic bez L'Hospitala
No tak, ale nie rozważamy w pierwszym przypadku dążenia do zera.
-
- Administrator
- Posty: 34499
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5222 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Zadanie z granic bez L'Hospitala
To nic, bo zawsze można sobie przekształcić. Na przykład jak masz taką granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} \frac{\sin{(x-1)}}{x-1}}\), to zobacz, że jak sobie podstawisz \(\displaystyle{ t = x-1}\), czyli w zasadzie przesuniesz rozważania o jeden w lewo, to jeśli \(\displaystyle{ x}\) dążył do \(\displaystyle{ 1}\), to \(\displaystyle{ t}\) będzie dązyć do \(\displaystyle{ 1-1 = 0}\), czyli wychodzi
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} \frac{\sin{(x-1)}}{x-1} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin{t}}{t} = 1.}\)
W Twoim pierwszym przykładzie, po wrzuceniu iksa do mianownika, masz \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}}\). Co się stanie, jak podstawisz \(\displaystyle{ t = \frac{1}{x}}\)?
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} \frac{\sin{(x-1)}}{x-1}}\), to zobacz, że jak sobie podstawisz \(\displaystyle{ t = x-1}\), czyli w zasadzie przesuniesz rozważania o jeden w lewo, to jeśli \(\displaystyle{ x}\) dążył do \(\displaystyle{ 1}\), to \(\displaystyle{ t}\) będzie dązyć do \(\displaystyle{ 1-1 = 0}\), czyli wychodzi
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} \frac{\sin{(x-1)}}{x-1} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin{t}}{t} = 1.}\)
W Twoim pierwszym przykładzie, po wrzuceniu iksa do mianownika, masz \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}}\). Co się stanie, jak podstawisz \(\displaystyle{ t = \frac{1}{x}}\)?