Granica w zerze

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Granica w zerze

Post autor: 41421356 »

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\sin^2 x}\right)}\)

Wymęczyłem w końcu po iluś tam hospitalizacjach, że wynik to \(\displaystyle{ -\frac{1}{3}}\). Jak najszybciej uzyskać ten wynik? Jak to zrobić bez reguły de L'Hospitala?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Granica w zerze

Post autor: Premislav »

Można sprowadzić do wspólnego mianownika i w liczniku użyć przybliżenia \(\displaystyle{ \sin x\approx x-\frac{x^3}{6}}\).
Jeśli znasz wzór Taylora, to łatwo uzasadnić powyższe, jeśli zaś nie, to może być niestety żmudniej:
mamy
\(\displaystyle{ \cos x\ge 1-\frac{x^2}{2}}\), a to dlatego, że ze wzoru na kosinus podwojonego kąta jest
\(\displaystyle{ \cos x=1-2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\ge 1-2\cdot \frac{x^2}{4}=1-\frac{x^2}{2}}\).
O funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sin x-\left(x-\frac{x^3}{6}\right)}\) możemy więc powiedzieć, że \(\displaystyle{ f(0)=0, \ f'(x)\ge 0}\) dla \(\displaystyle{ x\ge 0}\), czyli
gdy \(\displaystyle{ x\ge 0}\), to \(\displaystyle{ f(x)\ge 0}\). (*)

Dzięki (*) łatwo można wykazać, że w nieujemnych jest
\(\displaystyle{ \cos x\le 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}}\), wszak dla zera się zgadza, a dalej wystarczy rozpatrzyć funkcję \(\displaystyle{ g(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cos x}\) i odnotować, że \(\displaystyle{ g'(x)=f(x)\ge 0, \ x\ge 0}\).
Stąd można bez trudu wyciągnąć wniosek, że
\(\displaystyle{ \frac{x^5}{120}\ge f(x), \ x\ge 0}\): rozpatrujemy funkcję \(\displaystyle{ h(x)=\frac{x^5}{120}-f(x)}\), mamy \(\displaystyle{ h(0)=0}\), a dalej możemy odnotować, że \(\displaystyle{ h'(x)=g(x)\ge 0, \ x\ge 0}\).

Podsumowując, uzyskaliśmy w ten sposób \(\displaystyle{ x-\frac{x^3}{6}\le \sin x\le x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}, \ x\ge 0}\), a że funkcja, której granicę badamy, jest parzysta, więc można się ograniczyć do obliczenia granicy prawostronnej w zerze.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Granica w zerze

Post autor: 41421356 »

Dziękuję za pomoc. Tak myślałem, że bez tych przybliżeń się nie obejdzie...
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Re: Granica w zerze

Post autor: mol_ksiazkowy »

Ciekawym wydaje się też zbadanie ciągu \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left(\frac{1}{x^n}-\frac{1}{\sin^n x}\right) }\) ...
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Granica w zerze

Post autor: a4karo »

Dla `n>2` mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin^nx}-\frac{1}{x^n}>\frac{1}{x^{n-2}\sin^2x}-\frac{1}{x^n}=\frac{1}{x^{n-2}}\left(\frac{1}{\sin^2x}-\frac{1}{x^2}\right)\to\infty}\),
bo wyrażenie w nawiasie ma dodatnią skończoną granicę.
Dla `0<n<2` granica wyrażenia jest zero (z troszkę innych powodów)
ODPOWIEDZ