zbadaj istnienie granicy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{ \sqrt{p ^{2}n ^{2}+2n+4 }-(n+p) }}\)
w zależności od wartości parametru \(\displaystyle{ p}\), \(\displaystyle{ p \in \RR.}\)
granica w zależności od parametru
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
granica w zależności od parametru
Standardowo, najpierw mnożymy licznik i mianownik przez sumę
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{p^2n^2+2n+4}-(n+p)}=
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{p^2n^2+2n+4}+(n+p)}{p^2n^2+2n+4-(n^2+2np+p^2)}=}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{p^2n^2+2n+4}+(n+p)}{(p^2-1)n^2+(2-2p)n+4-p^2}}\)
Teraz dzielimy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{p^2+\frac{2}{n}+\frac{4}{n}}+1+\frac{p}{n}}{(p^2-1)n+(2-2p)+\frac{4-p^2}{n}}}\)
No i teraz widać, że gdy \(\displaystyle{ p^2-1\neq0}\) to granicą będzie na pewno zero.
Pozostają do sprawdzenia dwa przypadki \(\displaystyle{ p=1}\) i \(\displaystyle{ p=-1}\). Z licznikiem nie ma problemu, bo w obu zawsze będzie dążył do \(\displaystyle{ 2}\).
Musisz sprawdzić co dzieje się z mianownikiem, a to już nietrudne.
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{p^2n^2+2n+4}-(n+p)}=
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{p^2n^2+2n+4}+(n+p)}{p^2n^2+2n+4-(n^2+2np+p^2)}=}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{p^2n^2+2n+4}+(n+p)}{(p^2-1)n^2+(2-2p)n+4-p^2}}\)
Teraz dzielimy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{p^2+\frac{2}{n}+\frac{4}{n}}+1+\frac{p}{n}}{(p^2-1)n+(2-2p)+\frac{4-p^2}{n}}}\)
No i teraz widać, że gdy \(\displaystyle{ p^2-1\neq0}\) to granicą będzie na pewno zero.
Pozostają do sprawdzenia dwa przypadki \(\displaystyle{ p=1}\) i \(\displaystyle{ p=-1}\). Z licznikiem nie ma problemu, bo w obu zawsze będzie dążył do \(\displaystyle{ 2}\).
Musisz sprawdzić co dzieje się z mianownikiem, a to już nietrudne.
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 27 maja 2014, o 06:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
granica w zależności od parametru
W przypadku p= 1 mianownik dąży do 0. Co wtedy? Proszę o wytłumaczenie.
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 8 kwie 2021, o 18:30
- Płeć: Kobieta
- wiek: 24
Re: granica w zależności od parametru
rozwiązanie w formie filmiku
Kod: Zaznacz cały
https://www.youtube.com/watch?v=B7HpryAOJeI