Zbadaj ciągłość funkcji. limes we wzorze

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Karol566
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 6 lis 2020, o 12:54
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 4 razy

Zbadaj ciągłość funkcji. limes we wzorze

Post autor: Karol566 » 21 lis 2020, o 12:28

Cześć, mam za zadanie sprawdzić czy funkcja dana takim wzorem jest ciągła.
\(\displaystyle{ f(x)= \lim_{n \to \infty } \frac{n ^{x}-n ^{-x}}{n ^{x}+n ^{-x}}, x \in \RR}\)
Nie wiem kompletnie jak policzyć tę granicę, daną we wzorze funkcji, proszę o pomoc

Póki co wyciągnąłem z licznika i mianownika \(\displaystyle{ n^{-x}}\) i skróciłem. Potem próbowałem sprawdzać gdy \(\displaystyle{ x=0}\), \(\displaystyle{ <0}\), \(\displaystyle{ >0}\), ale totalnie się w tym już gubię

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9334
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2041 razy

Re: Zbadaj ciągłość funkcji. limes we wzorze

Post autor: Dasio11 » 21 lis 2020, o 13:55

Podział na przypadki iksa dodatniego, ujemnego i równego zero jest sensowny. W każdym z nich zacznij od zorientowania się, do czego dążą wyrażenia \(\displaystyle{ n^x}\) i \(\displaystyle{ n^{-x}}\).

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2989
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 996 razy

Re: Zbadaj ciągłość funkcji. limes we wzorze

Post autor: Janusz Tracz » 21 lis 2020, o 16:03

Inaczej: Zauważ, że \(\displaystyle{ \frac{n^x-n^{-x}}{n^x+n^{-x}} = \text{tgh}\left( x\ln n\right) }\). Teraz zobacz jak wygląda wykres tangensa hiperbolicznego klik. I teraz wyobraź sobie, jak wyglądają \(\displaystyle{ \text{tgh}\left( 2x\right) }\) potem \(\displaystyle{ \text{tgh}\left( 3x\right),\text{tgh}\left( 4x\right),\text{tgh}\left( 5x\right) }\) itd. ogólnie \(\displaystyle{ \text{tgh}\left( x \cdot \text{dużo}\right) }\). Funkcja graniczna ma specjalną nazwę.

ODPOWIEDZ