Suma dwóch liczb naturalnych wynosi 279...

Tomek tls · Post autor: **Tomek tls** » 1 gru 2008, o 21:04

Suma dwóch liczb naturalnych wynosi 279, a ich największy wspólny dzielnik jest równy 31. Znajdź te liczby.

Z góry przepraszam jeżeli nie ten dział, ale wydał mi się najbardziej odpowiedni

sea_of_tears · Post autor: **sea_of_tears** » 1 gru 2008, o 21:13

wpierw należy popatrzeć na ich najwiekszy wspólny dzielnik, 31 jest liczbą pierwszą zatem obie liczby muszą być wielokrotnościami tej liczby :
\(\displaystyle{ 31x\newline
31y\newline
\newline
31x+31y=279\newline
31x+31y=31\cdot 9\newline
x+y=9\newline
x=1 y=8 \newline
x=2 y=7\newline
x=3 y=6\newline
x=4 y=5\newline
x=5 y=4\newline
x=6 y=3\newline
x=7 y=2\newline
x=8 y=1\newline}\)
trzeci przypadek odpada, bo wtedy ich NWD zwiększyłby się 3-razy
piąty to to samo co czwarty
szósty to to samo co trzeci
siódmy to to samo co drugi
osmy to to samo co pierwszy
te liczby to :
\(\displaystyle{ 1\cdot 31=31, 8\cdot 31=248\newline
2\cdot 31=62, 7\cdot 31=217\newline
4\cdot 31=124, 5\cdot 31=155}\)
jak widać ją trzy pary takich liczb 31 i 248, 62 i 217, 124 i 155

Tomek tls · Post autor: **Tomek tls** » 1 gru 2008, o 21:19

Tzn rozwiązanie tylko w ten sposób, na "piechote"? Nie ma równania z którego to wyjdzie?

Pytam tylko tak z ciekawości, wielkie dzięki za rozwiązanie

sea_of_tears · Post autor: **sea_of_tears** » 1 gru 2008, o 21:20

to jest równanie, ale z niego wychodzi po prostu więcej rozwiązań i trzeba umiejętnie wyrzucić część

Tomek tls · Post autor: **Tomek tls** » 1 gru 2008, o 21:25

Aha ok, czyli mogę z czystym sumieniem napisać w zeszycie

Po prostu ja rozwiązania miałem wcześniej ale nie wiedziałem jak to zapisać, bo miałem tylko rozwiązania, przy takich danych to nie trudno zrobić w pamięci.

Wielkie dzięki jeszcze raz