Zadanie na dowodzenie

[dolin2k]

Wykaż, że promień okręgu wpisanego w trapez równoramienny o długościach podstaw a i b wyraża się wzorem:

\(\displaystyle{ r= \frac{ \sqrt{ab} }{2}}\)

prosiłbym o wytłumaczenie i rozwiązanie krok po kroku : )

pozdr

[bosa_Nike]

Żeby w ten trapez można było wpisać okrąg, musi być \(\displaystyle{ a+b=c+c}\), czyli \(\displaystyle{ a+b=2\sqrt{\left(\frac{a-b}{2}\right)^2+h^2}}\), no a \(\displaystyle{ h=2r}\).

[Justka]

AU

25g9ufs.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 60 razy

Aby można było w trapez wpisac okrag musi zachodzic warunek \(\displaystyle{ a+b=c+d}\). W tym przypadku : \(\displaystyle{ a+b=2c \iff c=\frac{a+b}{2}}\). Promień okregu wpisanego w trapez jest równy \(\displaystyle{ r=\frac{1}{2}H}\). A więc musimy tą wysokość obliczyć.
Odcinek x zaznaczony na rysunku jest równy: \(\displaystyle{ x=\frac{b-a}{2}}\). A więc (z pitagorasa):
\(\displaystyle{ H^2=c^2-x^2\\
H^2=(\frac{a+b}{2})^2-(\frac{b-a}{2})^2 \iff H^2=\frac{a^2+2ab+b^2-a^2-b^2+2ab}{4}\iff H=\sqrt{ab}}\)
A promień:
\(\displaystyle{ r=\frac{\sqrt{ab}}{2}}\)
=D