Suma sześcianów...

[$ebuss]

Proszę o pomoc w takim o to zadanu:

Wykaż, że liczba sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 3. (nigdy nie umiałem zadań z udawadnianiem podzielności :/)

[Piotrek89]

Wykaż, że liczba sześcianów

hm... może "suma" sześcianów... jeśli tak to:

udowadniam za pomocą indukcji matematycznej:

\(\displaystyle{ 3| n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{2}}\)

I. Sprawdzam podzielność dla n=1 :

1+8+27=36 , (12*3=36) więc jest podzielne

II.
Założenie:

\(\displaystyle{ 3l=n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3} \ ,l\in C}\)

Teza:

\(\displaystyle{ 3k=(n+1)^{3}+(n+2)^{3}+(n+3)^{3} \ ,k\in C}\)

Dowód:

\(\displaystyle{ P_{T}=(n+1)^{3}+(n+2)^{3}+n^{3}+9n^{2}+27n+27=3l+9n^{2}+27n+27=3(l+3n^{2}+9n+9)=3k=L_{T}}\)

c.n.d.