Obliczanie kredytu

Problemy matematyczne "ubrane" w życiowe problemy.
Karolinaa0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 266
Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 69 razy

Obliczanie kredytu

Post autor: Karolinaa0 »

Kredytobiorca pobrał kredyt w wysokości \(\displaystyle{ 2000zł}\) w banku, w którym oprocentowanie roczne wynosi \(\displaystyle{ 24 \% }\). Chce ten kredyt spłacić w ciągu roku w dwunastu miesięcznych, równych ratach. Oblicz wysokość jednej raty z dokładnością do jednego złotego.

Chciałam zapytać dlaczego jedynie poniższy pierwszy sposób obliczania raty jest poprawny?:
\(\displaystyle{ 12x=2000+0,02 \cdot 2000+0,02 \cdot \left( 2000-x\right) +0,02 \cdot \left( 2000-2x\right) +...+0,02 \cdot \left( 2000-11x\right) }\)
\(\displaystyle{ 12x=2000+480-1,32x}\)
\(\displaystyle{ 13,32x=2480}\)
\(\displaystyle{ x \approx 186 zł}\)

Dlaczego obliczając drugim poniższym sposobem wynik wychodzi błędny ( o \(\displaystyle{ 2 zł}\))?
Kwota jednej raty kredytu: \(\displaystyle{ 2000:12= 166 \frac{2}{3} zł }\)
Wartości odsetek:
1) \(\displaystyle{ 40 zł}\)
2) \(\displaystyle{ 36 \frac{2}{3} zł}\)
3) \(\displaystyle{ 33 \frac{1}{3} zł}\)
4) \(\displaystyle{ 30 zł}\)
5) \(\displaystyle{ 26 \frac{2}{3} zł}\)
6) \(\displaystyle{ 23 \frac{1}{3} zł}\)
7) \(\displaystyle{ 20 zł}\)
8) \(\displaystyle{ 16 \frac{2}{3} zł}\)
9) \(\displaystyle{ 13 \frac{1}{3} zł}\)
10) \(\displaystyle{ 10 zł}\)
11) \(\displaystyle{ 6 \frac{2}{3} zł}\)
12) \(\displaystyle{ 3 \frac{1}{3} zł}\)
Suma wartości odsetek: \(\displaystyle{ 260 zł}\)
\(\displaystyle{ 2260 zł:12 \approx 188 zł}\)
Dlaczego ten drugi sposób jest mniej precyzyjny?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Obliczanie kredytu

Post autor: kerajs »

Oba sposoby są błędne gdyż dotyczą kredytu o oprocentowaniu (i kapitalizacji) miesięcznym wysokości 2 % co daje 26,82418 % w skali roku.

Zakładając, iż oba sposoby są dotyczą kredytu o oprocentowaniu miesięcznym wysokości 2 % , to także są błędne.
Karolinaa0 pisze: 4 sie 2021, o 21:49.
\(\displaystyle{ 12x=2000+0,02 \cdot 2000+0,02 \cdot \left( 2000-x\right) +0,02 \cdot \left( 2000-2x\right) +...+0,02 \cdot \left( 2000-11x\right) }\)
Tu 12 rat to kwota pierwotna, odsetki po miesiącu, odsetki po dwóch miesiącach, odsetki po trzech miesiącach, itd.
O ile dwa pierwsze składniki są poprawne to odsetki po dwóch miesiącach wynoszą:
\(\displaystyle{ 0,02(2000+0,02 \cdot 2000-x)}\)
po trzech miesiącach wynoszą
\(\displaystyle{ 0,02(0,02(2000+0,02 \cdot 2000-x)-x)}\)
itd
Karolinaa0 pisze: 4 sie 2021, o 21:49.
Kwota jednej raty kredytu: \(\displaystyle{ 2000:12= 166 \frac{2}{3} zł }\)
Wartości odsetek:
1) \(\displaystyle{ 40 zł}\)
2) \(\displaystyle{ 36 \frac{2}{3} zł}\)
3) \(\displaystyle{ 33 \frac{1}{3} zł}\)
4) \(\displaystyle{ 30 zł}\)
5) \(\displaystyle{ 26 \frac{2}{3} zł}\)
6) \(\displaystyle{ 23 \frac{1}{3} zł}\)
7) \(\displaystyle{ 20 zł}\)
8) \(\displaystyle{ 16 \frac{2}{3} zł}\)
9) \(\displaystyle{ 13 \frac{1}{3} zł}\)
10) \(\displaystyle{ 10 zł}\)
11) \(\displaystyle{ 6 \frac{2}{3} zł}\)
12) \(\displaystyle{ 3 \frac{1}{3} zł}\)
Suma wartości odsetek: \(\displaystyle{ 260 zł}\)
\(\displaystyle{ 2260 zł:12 \approx 188 zł}\)
Dlaczego ten drugi sposób jest mniej precyzyjny?
Primo: odsetki od dwunastej część kwoty kredytu po n miesiącach to \(\displaystyle{ \frac{2000}{12} \left[ (1+0,02)^n-1\right] }\) a nie \(\displaystyle{ \frac{2000}{12} \left[ n \cdot 0,02\right] }\)
Secundo:
Pomijając powyższe, nieuzasadnionym jest założenie że w każdej racie spłacasz dwunastą część wszystkich odsetek.
Straczynski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 27 maja 2019, o 12:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: południe
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 4 razy

Re: Obliczanie kredytu

Post autor: Straczynski »

Kredyt z ratą równą (annuita) działa inaczej :) Odsetki w pierwszej racie wynoszą \(\displaystyle{ K \cdot p}\) gdzie \(\displaystyle{ K}\) to kapitał a \(\displaystyle{ p}\) oprocentowanie za okres ratalny. Składniki kapitałowe rat są odpowiednio dopasowane, by wraz z odsetkami od malejącego kapitału tworzyły ratę równą. Sens jest taki:
\(\displaystyle{ }\)
Jeśli składnik kapitałowy raty to \(\displaystyle{ x_{n}}\) to w twoim przypadku:

\(\displaystyle{ K = x_{1} + x_{2} + x_{3} + ... + x_{12}}\)

Natomiast rata \(\displaystyle{ R}\) zgodnie z powyższym wyniesie:

\(\displaystyle{ R = Kp + x_{1}}\)
\(\displaystyle{ R = \left(K - x_{1} \right)p + x_{2}}\)
\(\displaystyle{ R = \left(K - x_{1} - x_{2}\right)p + x_{3}}\)
itd.

Po podstawieniu wartości będzie dało się sprowadzić wszystkie \(\displaystyle{ x_{n}}\) do \(\displaystyle{ x_{1}}\) i wyjdzie na to, że:

\(\displaystyle{ x_{2} = \left(1 + p\right)x_{1} }\)
\(\displaystyle{ x_{3} = \left(1 + p\right)x_{2} = \left(1 + p\right)\left(1 + p\right)x_{1} }\)
itd.

Czyli że:
\(\displaystyle{ x_{n} = \left(1 + p\right)^{n-1}x_{1} }\)

Czyli suma którą zapisałem na początku to:
\(\displaystyle{ K = \sum_{n}^{12} \left(1 + p\right)^{n-1}x_{1}}\)

Znając \(\displaystyle{ K}\) obliczasz \(\displaystyle{ x_{1}}\) i znasz wszystkie składniki kapitałowe rat które wraz z odsetkami utworzą \(\displaystyle{ R}\). Ja celowo szedłem na piechotę i wyodrębniłem w obliczeniach składniki kapitałowe ale na ratę równą stosuje się dużo prostszy wzór i otrzymujesz od razu \(\displaystyle{ R}\) z \(\displaystyle{ K}\),\(\displaystyle{ p}\) i liczby rat \(\displaystyle{ n}\).
Karolinaa0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 266
Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 69 razy

Re: Obliczanie kredytu

Post autor: Karolinaa0 »

W tak razie w odpowiedziach zbioru OE Pazdro matematyka klasa 1 poziom podstawowy jest kolejny i na dodatek MERYTORYCZNY błąd. Dziękuję.
Straczynski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 27 maja 2019, o 12:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: południe
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 4 razy

Re: Obliczanie kredytu

Post autor: Straczynski »

Sprawdź ten wzór:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.m.wikipedia.org/wiki/Annuita
Karolinaa0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 266
Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 69 razy

Re: Obliczanie kredytu

Post autor: Karolinaa0 »

Wynik uzyskany wzorem annuita w zaokrągleniu to \(\displaystyle{ 189 zł}\), a nie \(\displaystyle{ 186 zł}\) jak w odpowiedziach, tak więc w odpowiedziach tego zbioru wystąpił kolejny i to MERYTORYCZNY błąd. Dziękuję.
ODPOWIEDZ