Iloczyn dziesięciu różnic
-
matematyk124
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 4 kwie 2021, o 20:16
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Iloczyn dziesięciu różnic
O pięciu liczbach dodatnich wiadomo, że różnica pomiędzy sumą trzech dowolnych liczb spośród nich, a suma dwóch pozostałych, jest zawsze dodatnia. Udowodnić, że iloczyn wszystkich możliwych dziesięciu takich różnic jest nie większy od kwadratu iloczynu tych pięciu liczb.
Ostatnio zmieniony 4 kwie 2021, o 20:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się dobierać tytuł tematu tak, by opisywał jego treść. Temat umieszczono w złym dziale.
Powód: Staraj się dobierać tytuł tematu tak, by opisywał jego treść. Temat umieszczono w złym dziale.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Iloczyn dziesięciu różnic
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ (a+b+c-d-e)(a-b-c+d+e)\le \left( \frac{(a+b+c-d-e)+(a-b-c+d+e)}{2}\right)^{2}=a^{2}}\)
Wynika to z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną dla dwóch liczb.
Wystarczy wymnożyć stronami pięć tego typu nierówności i mamy tezę, c.k.d.
\(\displaystyle{ (a+b+c-d-e)(a-b-c+d+e)\le \left( \frac{(a+b+c-d-e)+(a-b-c+d+e)}{2}\right)^{2}=a^{2}}\)
Wynika to z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną dla dwóch liczb.
Wystarczy wymnożyć stronami pięć tego typu nierówności i mamy tezę, c.k.d.
-
matematyk124
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 4 kwie 2021, o 20:16
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Re: Iloczyn dziesięciu różnic
Dzięki za odpowiedź.
Rozumiem twój tok rozumowania i ma sens, ale mam problem z dobraniem par tych iloczynów. Twoja prawa strona równania rzeczywiście równa się \(\displaystyle{ a^2}\), natomiast nie wiem jaką parę dobrać aby wyszło np. \(\displaystyle{ b^2}\). Jak podstawię \(\displaystyle{ \left(\frac{(b + c + d - a - e) + (b - c - d + a +e)}{2}\right)^2}\) to, to nie równa się \(\displaystyle{ b^2}\) według wolfram alpha.
Rozumiem twój tok rozumowania i ma sens, ale mam problem z dobraniem par tych iloczynów. Twoja prawa strona równania rzeczywiście równa się \(\displaystyle{ a^2}\), natomiast nie wiem jaką parę dobrać aby wyszło np. \(\displaystyle{ b^2}\). Jak podstawię \(\displaystyle{ \left(\frac{(b + c + d - a - e) + (b - c - d + a +e)}{2}\right)^2}\) to, to nie równa się \(\displaystyle{ b^2}\) według wolfram alpha.
Ostatnio zmieniony 5 kwie 2021, o 11:59 przez AiDi, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Brak LaTeX-a, zapoznaj się z instrukcją https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951 .
Powód: Brak LaTeX-a, zapoznaj się z instrukcją https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951 .
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Iloczyn dziesięciu różnic
Jakże to? U mnie wolfram potwierdza, patrz .
Reszta idzie cyklicznie, tj. tak jakbyśmy przyjmowali teraz \(\displaystyle{ b}\) za nowe \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ c}\) za nowe \(\displaystyle{ b}\) itd. (chodzi o znaki). Na przykład jeśli wystartowaliśmy od takiej pary jak napisałem, to potem wzięlibyśmy
\(\displaystyle{ (-a+b+c+d-e)(a+b-c-d+e)\le b^{2}}\) (zresztą jak u Ciebie, tylko zamieniłeś też kolejność) i dalej idzie analogicznie. Mógłbym te wszystkie pary wypisać, ale trochę mi się nie chce.
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28%28%28b+%2B+c+%2B+d+-+a+-+e%29+%2B+%28b+-+c+-+d+%2B+a+%2Be%29%29%2F2%29%5E2%3Db%5E2Reszta idzie cyklicznie, tj. tak jakbyśmy przyjmowali teraz \(\displaystyle{ b}\) za nowe \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ c}\) za nowe \(\displaystyle{ b}\) itd. (chodzi o znaki). Na przykład jeśli wystartowaliśmy od takiej pary jak napisałem, to potem wzięlibyśmy
\(\displaystyle{ (-a+b+c+d-e)(a+b-c-d+e)\le b^{2}}\) (zresztą jak u Ciebie, tylko zamieniłeś też kolejność) i dalej idzie analogicznie. Mógłbym te wszystkie pary wypisać, ale trochę mi się nie chce.