Mamy takie zadanie:
Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe naroża.
Następnie zagięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc w ten sposób prostopadłościenne pudełko (bez przykrywki). Oblicz długość boku wyciętych kwadratowych naroży, dla której objętość otrzymanego pudełka jest największa. Oblicz tę objętość.
Oczywiście, można to zadanie rozwiązać w bardzo prosty sposób używając pochodnych, jednakże widziałem jak ktoś kiedyś rozwiązał je za pomocą nierówności (prawdopodobnie cauchy'ego-schwarza w postaci engela, ale nie jestem pewien) (bez użycia pochodnych oczywiście). Czy byłby ktoś w stanie pokazać mi takie rozwiązanie?
nierówności zamiast pochodnych
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: nierówności zamiast pochodnych
CS w fornie Engela? Oj, chyba nie. Zobaczmy, to jak wytniesz kwadraty \(\displaystyle{ a\times a}\) (nie mogą być różne, bo będzie fiflak, a nie prostopadłościan, oczywiście) i zagniesz, to wysokość będzie wynosiła \(\displaystyle{ a}\), zaś boki \(\displaystyle{ 50-2a}\) i \(\displaystyle{ 80-2a}\), jeśli się nie mylę. Czyli ta objętość to \(\displaystyle{ a(80-2a)(50-2a)}\).
Następnie:
\(\displaystyle{ a(80-2a)(50-2a)=\frac{1}{12}\cdot 6a(80-2a)(100-4a)\\\le \frac{1}{12}\cdot \left(\frac{6a+(80-2a)+(100-4a)}{3}\right)^{3}=\frac{216000}{12}=18000}\)
To oczywiście w centymetrach sześciennych.
W przejściu z nierównością wykorzystałem nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną dla trzech zmiennych \(\displaystyle{ 6a, \ 80-2a, \ 100-4a}\), tyle że podniesioną do trzeciej potęgi (równość w tej nierówności zachodzi dla równych zmiennych).
Następnie:
\(\displaystyle{ a(80-2a)(50-2a)=\frac{1}{12}\cdot 6a(80-2a)(100-4a)\\\le \frac{1}{12}\cdot \left(\frac{6a+(80-2a)+(100-4a)}{3}\right)^{3}=\frac{216000}{12}=18000}\)
To oczywiście w centymetrach sześciennych.
W przejściu z nierównością wykorzystałem nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną dla trzech zmiennych \(\displaystyle{ 6a, \ 80-2a, \ 100-4a}\), tyle że podniesioną do trzeciej potęgi (równość w tej nierówności zachodzi dla równych zmiennych).
-
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Re: nierówności zamiast pochodnych
W ogólnym przypadku wzór na objętość można zapisać jako \(\displaystyle{ V=(a-2x)(b-2x)x}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b}\) to długości boków arkusza, lub równoważnie jako \(\displaystyle{ V=\frac{1}{2km(k+m)}(ka-2kx)(mb-2mx)\cdot 2(k+m)x}\), gdzie \(\displaystyle{ k,m}\) są pewnymi dodatnimi współczynnikami. Nie tracimy przy tym ogólności przyjmując \(\displaystyle{ k=1}\) albo \(\displaystyle{ m=1}\) (dlaczego?). Mamy więc np. $$\begin{aligned}V&=\frac{1}{2m(1+m)}(a-2x)(mb-2mx)\cdot 2(1+m)x\\&\le\frac{1}{2m(1+m)}\left(\frac{(a-2x)+(mb-2mx)+ 2(1+m)x}{3}\right)^3\\&=\frac{1}{2m(1+m)}\left(\frac{a+mb}{3}\right)^3\end{aligned}$$ Teraz trzeba jeszcze rozwiązać układ \(\displaystyle{ a-2x=mb-2mx=2(1+m)x}\), aby znaleźć \(\displaystyle{ m}\) oraz \(\displaystyle{ x}\).