Potęga liczby 11

[ania1961ania]

Pilnie proszę o pomoc.
Udowodnij, że nie istnieje potęga liczby \(\displaystyle{ 11}\) o wykładniku naturalnym, której zapis dziesiętny ma \(\displaystyle{ 26}\) cyfr. Skorzystaj z informacji: \(\displaystyle{ \log11 =1,04139}\)

[Janusz Tracz]

Załóżmy, że taka potęga naturalna istnieje, nazwijmy ją \(\displaystyle{ k}\). Wtedy \(\displaystyle{ 11^k}\) ma \(\displaystyle{ 26}\) cyfr w zapisie zatem \(\displaystyle{ 10^{25} \le 11^k < 10^{26}}\) zatem \(\displaystyle{ 25 \le k \cdot \lg_{10}11<26}\) zatem

\(\displaystyle{ \frac{25}{\lg_{10}11} \le k< \frac{26}{\lg_{10}11} }\)

ale w tym przedziale nie ma naturalnej liczb więc jest to sprzeczność

[ania1961ania]

Bardzo dziękuję. Wyjaśnienie proste, ale na nie nie wpadłam.