Matematyka.pl

Woda płynąca z kranów A,B,C może napełnić basen w ciągu 6 godzin. Woda płynąca tylko z kranu A napełnia w ciągu godziny\(\displaystyle{ \frac{1}{12} }\) basenu, a tylko z kranu B - \(\displaystyle{ \frac{1}{15} }\) basenu. Ile czasu trwałoby napełnianie basenu wodą płynącą tylko z kranu C ?
Moje rozw:
Woda płynąca z trzech kranów napełnia w ciągu godz. basen w \(\displaystyle{ \frac{1}{6} }\) jego objętości.
Woda płynąca z kranu A napełnia w ciągu godz. basen w \(\displaystyle{ \frac{1}{12} }\) jego objętości.
Woda płynąca z kranu B napełnia w ciągu godz. basen w \(\displaystyle{ \frac{1}{15} }\) jego objętości.
Woda płynąca z kranu C napełnia w ciągu godz. basen w \(\displaystyle{ \frac{1}{n} }\) jego objętości.
\(\displaystyle{ \frac{1}{12} +\frac{1}{15}+\frac{1}{n}=\frac{1}{6}}\)
Więc \(\displaystyle{ n =60}\), czyli napełnianie basenu wodą płynącą tylko z kranu C trwałoby 60 godzin.
Odp. w książce to 6h 40 min. Dlaczego?

Inaczej:
Przez 60 godzin trzy krany napełnią 10 basenów, w tym 5 kran A i 4 kran B. Wynika z tego, iż kran C napełnia 1 basen w 60 godzin, więc nie mam pojęcia skąd się bierze książkowa odpowiedź.

Wydajność (moc) kranów:

\(\displaystyle{ A : \ \ \frac{W_{A}}{1h} = \frac{\frac{1}{12}V}{1h} }\)

\(\displaystyle{ B: \ \ \frac{W_{B}}{1h} = \frac{\frac{1}{15}V}{1h} }\)

\(\displaystyle{ C: \ \ \frac{W_{C}}{1h} = \frac{\frac{1}{n}V}{1h} }\)

Wydajność układu kranów \(\displaystyle{ A, B, C :}\)

\(\displaystyle{ \frac{W}{t} = \frac{V}{6h} = \frac{\frac{1}{12}V}{1h} + \frac{\frac{1}{15}V}{1h} + \frac{\frac{1}{n}V}{1h}. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \frac{1}{6h} = \frac{1}{12h} + \frac{1}{15h} + \frac{1}{n\cdot h} }\)

\(\displaystyle{ n = 60 .}\)

Kran \(\displaystyle{ C }\) w ciągu jednej godziny napełnia \(\displaystyle{ \frac{1}{60} }\) objętości \(\displaystyle{ V }\) basenu.

Czas napełnienia basenu przez kran \(\displaystyle{ C }\)

\(\displaystyle{ t_{C} = n \cdot h .}\)

\(\displaystyle{ t_{C} = 60 h.}\)

Błąd jest w odpowiedzi.

Woda płynąca z kranów \(\displaystyle{ A,B,C}\) napełnia basen w ciągu \(\displaystyle{ 6}\) godzin.
Woda płynąca tylko z kranu \(\displaystyle{ A }\) napełnia w ciągu godziny \(\displaystyle{ \frac{1}{12} }\) basenu zaś w \(\displaystyle{ 6 }\) godzin \(\displaystyle{ 6 \cdot \frac{1}{12} }\) basenu = \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\) basenu
Woda płynąca tylko z kranu \(\displaystyle{ B }\) napełnia w ciągu godziny \(\displaystyle{ \frac{1}{15} basenu }\) a w \(\displaystyle{ 6}\) godzin \(\displaystyle{ 6 \cdot \frac{1}{15} = \frac{2}{5} }\) basenu.

Krany \(\displaystyle{ A \ i \ B}\) w czasie \(\displaystyle{ 6 \ godzin }\) napełnieją basen w \(\displaystyle{ \frac{1}{2} + \frac{2}{5} = \frac{9}{10} }\) objętości basenu. Stąd wniosek, że czas napełniania basenu wodą płynącą tylko z kranu \(\displaystyle{ C}\) jest dziesięciokrotnie dłuższy od czasu napełniania go wszystkimin trzema kranami .
Odpowiedź "książkowa" wydaje się być niewłaściwa. co już Kolega dawno zauważył.

Przepraszam Panów przedpiśców za wtrącenie swoich kilku zdań.

Taka sytuacja jak zwykle prowokuje pytanie: jak mogłoby brzmieć to zadanie (w podobny sposób), by odpowiedź była taka, jak w książce (czyli pytanie niejawne: skąd wziął się błąd w odpowiedziach?).

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑12 wrz 2020, o 19:23 czyli pytanie niejawne: skąd wziął się błąd w odpowiedziach?

Mój pomysł jest taki, że autor wklepał do Wolframa:

\(\displaystyle{ \displaystyle{ \frac{1}{12} -\frac{1}{15}+\frac{1}{n}=\frac{1}{6}}}\)

No fakt dla takiego równania wychodzi 6 h 40 min. W treści tego zadani w książce rzeczywiście za B jest \(\displaystyle{ - \frac{1}{15} }\). Czy to w jakikolwiek sposób może mieć sens, że woda napełniła \(\displaystyle{ - \frac{1}{15} }\) basenu ?

matematykipatyk pisze: ↑13 wrz 2020, o 21:08 Czy to w jakikolwiek sposób może mieć sens, że woda napełniła \(\displaystyle{ - \frac{1}{15} }\) basenu ?

Tak ma to sens. Taki kran wciągał by wodę czyli byłby zlewem.

Widziałem ten basen. Ten kran znajdowal się w dnie basenu i opróżniał \(\displaystyle{ \frac{1}{15} }\) basenu w ciągu godziny. Tak było, nie kłamię.

Coś tam mi kołacze, że prędkość odpływu zależy od wysokości słupa cieczy. Pewnie ten kranoodpływ miał jakiś dinks wymuszający stałą prędkość.

PS:
O, widzę że awatar zmężniał.