Jaka to liczba

[AnGeL16]

Jaka liczba kończąca się siódemką ma tę własność, że przeniesienie siódemki z końca na początek poszukiwanej liczby zwiększa liczbę dwukrotnie? Czy ma ktoś jakiś pomysł ?

[kinia7]

368421052631578947

[AnGeL16]

Dobry żart.

[Jan Kraszewski]

To nie żart, to odpowiedź...

JK

[Niepokonana]

A jak to zostało policzone?

[Premislav]

Nie umiem tego zbyt porządnie rozwiązać. Skoro przeniesienie siódemki z końca na początek liczby zwiększa ją dwukrotnie, to jej pierwsza cyfra jest równa \(\displaystyle{ 3}\), można ją zatem zapisać w postaci \(\displaystyle{ 3\cdot 10^{k}+10a+7}\). Operacja przerzucenia siódemki z końca na początek zmienia ją w liczbę
\(\displaystyle{ 7\cdot 10^{k}+3\cdot 10^{k-1}+a}\). Czyli zachodzi:
\(\displaystyle{ 7\cdot 10^{k}+3\cdot 10^{k-1}+a=2\cdot \left(3\cdot 10^{k}+10a+7\right)}\)
Mnożymy teraz tę równość stronami przez \(\displaystyle{ 10}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ 7\cdot 10^{k+1}+3\cdot 10^{k}+10a+7-7=20\cdot \left(3\cdot 10^{k}+10a+7\right)}\)
oznaczamy \(\displaystyle{ x=3\cdot 10^{k}+10a+7}\) i mamy
\(\displaystyle{ 7\cdot 10^{k+1}-7=19x}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \NWD(7, 19)=1}\), więc istnieje takie naturalne \(\displaystyle{ y}\), że \(\displaystyle{ x=7y}\).
Równanie zaś sprowadza się do postaci
\(\displaystyle{ 10^{k+1}-1=19y}\)
Tutaj jeśli ktoś nie zna się na kongruencjach, to może po prostu podstawiać na pałę za \(\displaystyle{ k}\) i czekać na liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 19}\), a jeśli się zna, to z małego twierdzenia Fermata mamy \(\displaystyle{ 10^{18}\equiv 1\pmod{19}}\), więc działa \(\displaystyle{ k+1=18}\), a wówczas \(\displaystyle{ y=\frac{10^{18}-1}{19}, \ x=7\left(\frac{10^{18}-1}{19}\right)=368421052631578947}\)
(powinna istnieć też mniejsza liczba o tej własności, ale ja jej nie potrafię znaleźć, musiałbym spytać wolframa).

[Dasio11]

Są dwie metody: łatwa, lecz żmudna, i sprytna.

Łatwa metoda polega na obserwacji, że jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest szukaną liczbą kończącą się na siedem, to jej dwukrotność kończy się na cztery (bo dwa razy siedem to czternaście). A zatem w rzeczywistości \(\displaystyle{ x}\) kończy się na \(\displaystyle{ 47}\), a wobec tego jej dwukrotność kończy się na \(\displaystyle{ 94}\), czyli sama liczba kończy się na \(\displaystyle{ 947}\), i tak dalej.

Druga metoda korzysta z podzielności. Oznaczając naszą liczbę przez \(\displaystyle{ x}\), widzimy że jest ona postaci \(\displaystyle{ 10 \cdot y + 7}\) dla pewnej liczby \(\displaystyle{ y}\). Wtedy liczba uzyskana przez przesunięcie siódemki na początek to \(\displaystyle{ 7 \cdot 10^n + y}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą cyfr \(\displaystyle{ y}\). Z warunków zadania mamy więc

\(\displaystyle{ 7 \cdot 10^n + y = 2(10y+7),}\)

czyli po uproszczeniu \(\displaystyle{ 7 (10^n-2) = 19y}\). Widać zatem, że warunkiem koniecznym, by mogła zajść taka równość, jest \(\displaystyle{ 10^n \equiv 2 \pmod{19}}\). Przy użyciu kalkulatora lub komputera łatwo znaleźć najmniejszą liczbę spełniającą ten warunek, czyli \(\displaystyle{ n = 17}\). Wstawiając z powrotem do równania, dostajemy

\(\displaystyle{ y = \frac{7 (10^{17}-2)}{19} = 36842105263157894}\).

Skoro liczba ta ma tyle cyfr, ile trzeba, czyli \(\displaystyle{ 17}\), to na mocy wcześniejszych rozważań liczba \(\displaystyle{ x = 10 \cdot y + 7 = 368421052631578947}\) spełnia warunki zadania.

[AnGeL16]

A chciałem dodać jeszcze do tego, czy to zadanie jest na poziomie 6 klasy podstawówki ?

[Premislav]

Zdecydowanie nie. To jest zadanie na poziomie konkursu w liceum (no może nie OM, bez przesady, ale jakiegoś mniejszego). Jakiś czas temu bardzo podobne było na finale konkursu Politechniki Warszawskiej.

[AnGeL16]

No bo własnie takie zadanie otrzymało dziecko w 6 klasie podstawówki.

[Premislav]

Czy to było w ramach przygotowania do Olimpiady Matematycznej Juniorów (choć to niespecyficzne dla tego konkursu, bo trochę bardziej na pałę niż typowe zeń zadania) bądź podobnego konkursu, w ramach pracy z uczniem uzdolnionym? Jeśli nie, to nauczyciel powinien wylecieć ze szkoły na kopach.

[Dasio11]

Zdecydowanie nie.

Dlaczego nie? Pierwsza z metod w moim poście niewątpliwie jest do wymyślenia przez zdolnego ucznia podstawówki.

[AnGeL16]

Premislav to nie było żadne przygotowanie do olimpiady tylko po prostu zwykłe zadanie domowe,które dostaje każdy uczeń do wysłania na ocenę

[Premislav]

Zatem podtrzymuję swoją opinię.
Jeśli przez zdolnego ucznia podstawówki (szóstej klasy, podkreślmy) rozumiemy kogoś w okolicach Kamila Rychlewicza, to tak, jeśli jakiegoś wyróżnionego w Kangurze czy coś w tym stylu, to nie. Danie tego normalnym uczniom w charakterze zwykłego zadania na ocenę w szóstej klasie podstawówki to zwykła podłość.

[kinia7]

A chciałem dodać jeszcze do tego, czy to zadanie jest na poziomie 6 klasy podstawówki ?

Tak. Ja właśnie tak znalazłam tę liczbę.

Dodano po 5 godzinach 43 minutach 17 sekundach:

\(\displaystyle{ x=7\left(\frac{10^{18}-1}{19}\right)=368421052631578947}\)
(powinna istnieć też mniejsza liczba o tej własności, ale ja jej nie potrafię znaleźć, musiałbym spytać wolframa).

Nie musisz pytać wolframa. To jest najmniejsza liczba.