Ile ma lat

[AnGeL16]

Tort urodzinowy dziadka pokrojono za pomocą czternastu linii prostych tak, że na każdym kawałku tortu znalazła się jedna urodzinowa świeczka. Wnuczek zauważył, że jest to maksymalna liczba jaką można uzyskać przy podziale czternastoma liniami prostymi. Ile lat ma dziadek ? Proszę o wyjaśnienie.

[Janusz Tracz]

Ja to widzę tak, że na tort patrzymy jak na płaszczyznę* którą tniemy \(\displaystyle{ n}\) prostymi wtedy maksymalna liczba obszarów możliwych do uzyskania wynosi \(\displaystyle{ {n \choose 2} + {n \choose 1} + {n \choose 0} }\) bo

Kod: Zaznacz cały

https://smp.uph.edu.pl/msn/51/a_joasia.pdf

. Zatem jeśli cięć jest \(\displaystyle{ 14}\) to obszarów jest \(\displaystyle{ {14 \choose 2} + {14 \choose 1} + {14 \choose 0} = 106 }\) i tyle lat ma dziadek.

* Płaszczyznę po takim podziale można zgnieść do dysku bez zmiany liczby obszarów podziału który to utożsamiamy z tortem.

[AnGeL16]

A jakiś tylko słowny opis do tego zadania ?

[piasek101]

Przyjmując klasyczny kształt tortu.
Pierwsze cięcie - dwie porcje.
drugie dzieli (max) dwie z porcji na dwa kawałki - (czyli +2)jest cztery
trzecie dzieli (max) trzy z porcji na dwa kawałki - (czyli +3) jest siedem
czwarte dzieli (max) cztery....... - (+4) jest jedenaście
piąte dzieli (max) pięć...
...
Zatem najwięcej porcji (teoretycznie) jest : \(\displaystyle{ 2+2+3+4+5+6+7+...+11+12+13+14}\)

[Dasio11]

Pytanie jest o to, na ile najwyżej części czternaście prostych może podzielić płaszczyznę.

Dla liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) niech \(\displaystyle{ p_n}\) oznacza maksymalną liczbę obszarów, na jakie płaszczyznę może dzielić \(\displaystyle{ n}\) prostych. Oczywiście prowadząc jedną prostą zawsze dostaniemy dwie części, czyli \(\displaystyle{ p_1 = 2}\). Ustalmy teraz dowolną liczbę \(\displaystyle{ n}\) i rozważmy \(\displaystyle{ n}\) prostych dzielących płaszczyznę na \(\displaystyle{ p_n}\) obszarów. Dorysowanie kolejnej prostej spowoduje podział niektórych obszarów na dwie części, podzielonych zaś w ten sposób obszarów będzie tyle, co liczba przecięć między nową prostą a wcześniejszymi plus jeden. Ale dorysowana prosta przecina każdą z pozostałych najwyżej raz, a zatem nowych obszarów przybędzie nie więcej niż \(\displaystyle{ n+1}\). Taki przyrost jest osiągalny - wystarczy nową prostą poprowadzić tak, żeby przecięła wszystkie pozostałe w różnych punktach - a stąd mamy \(\displaystyle{ p_{n+1} = p_n + n + 1}\).

Ostatecznie szukaną liczbą jest

\(\displaystyle{ p_{14} = 14 + 13 + \ldots + 2 + p_1 = \frac{14 \cdot 15}{2} - 1 + 2 = 106}\).