Skumulowany efekt spowolnienia obrotu Ziemi

[matmatmm]

Zapraszam do zmierzenia się z takim oto zadaniem:

Zakładając, że długość dnia rośnie jednostajnie w tempie \(\displaystyle{ 0,001}\) sekundy na stulecie (na takie spowolnienie obrotu Ziemi wskazują pomiary momentów zaćmień Słońca w ciągu wielu stuleci) oblicz łączny wpływ tego zjawiska na wskazania czasu po \(\displaystyle{ 20}\) stuleciach.

Za jakiś czas wrzucę swoje rozwiązanie, choć nie jestem pewien jego poprawności, gdyż odpowiedź z książki różni się nieznacznie od mojego wyniku. Nie wiem jaka jest tego przyczyna. Może to być kwestia zaokrągleń w obliczeniach lub drobnego błędu, a być może moja metoda jest niedobra.

[korki_fizyka]

Bazując li tylko na tym co podałeś wyżej każdy przedszkolak wyliczy, że po \(\displaystyle{ 2}\) stuleciach...
jakieś \(\displaystyle{ 5}\) lat temu przeczytałem jak to spiętrzenie wody przez Chińczyków spowodowało spowolnienie obrotu Ziemi i pochylenie jej osi obrotu o.. jest temat do rozmyślań

[matmatmm]

Bazując li tylko na tym co podałeś wyżej każdy przedszkolak wyliczy, że po 2 stuleciach...

W zadaniu nie chodzi o obliczenie, ile będzie trwał dzień po \(\displaystyle{ 20}\) stuleciach, jeśli to miałeś na myśli.

[matmatmm]

Tak jak obiecałem, przestawiam swoje rozwiązanie. W moim poprzednim rozwiązaniu był zasadniczy błąd merytoryczny i tym razem mój wynik jest zgodny z tym z książki. Nie mniej jednak będę wdzięczny, jeśli ktoś pokusi się o sprawdzenie.

Ukryta treść:    

Wprowadzam funkcję \(\displaystyle{ T}\), która zwraca ile (hipotetycznie) trwałby 1 dzień, gdyby ziemia obracałaby się z prędkością (chwilową) w chwili \(\displaystyle{ t}\). Zgodnie z treścią zadania długość dnia rośnie jednostajnie, więc funkcja \(\displaystyle{ T}\) ma postać
\(\displaystyle{ T(t)=at+b}\)
, przy czym w chwili \(\displaystyle{ t=0}\) dzień trwałby \(\displaystyle{ 86400s}\), zatem \(\displaystyle{ b=86400s}\).
Współczynnik \(\displaystyle{ a}\) obliczamy podstawiając długość dnia po czasie \(\displaystyle{ t_0=100\cdot 365\cdot 86400s}\), czyli 1 stuleciu:

\(\displaystyle{ 86400,001=T(t_0)=at_0+86400=a\cdot 100\cdot 365\cdot 86400+86400}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{0,001}{100\cdot 365\cdot 86400}=\frac{0,001}{t_0}}\)

Częstotliwość obrotu ziemi w chwili \(\displaystyle{ t}\) w jednostce \(\displaystyle{ \frac{1}{s}}\) opisuje funkcja \(\displaystyle{ \Phi}\) o postaci:
\(\displaystyle{ \Phi(t)=\frac{1}{T(t)}=\frac{1}{at+b}}\)

Ilość obrotów Ziemi w czasie \(\displaystyle{ 20t_0}\), czyli 20 stuleci jest dane przez całkę

\(\displaystyle{ N=\int_0^{20t_0}\Phi(t)\dd t=\int_0^{20t_0}\frac{1}{at+b}\dd t =\frac{1}{a}\ln(at+b)|_0^{20t_0}=\frac{1}{a}\ln\left(\frac{a\cdot 20t_0+b}{b}\right)=\frac{100\cdot 365\cdot 86400}{0,001}\ln\left(\frac{20\cdot 0,001+86400}{86400}\right)}\)

Ostatecznie różnica między "spodziewaną" ilością obrotów Ziemi w czasie \(\displaystyle{ 20t_0}\), a rzeczywistą ilością obliczoną powyżej wynosi:

\(\displaystyle{ 20\cdot 100\cdot 365-N\approx 0,089162731}\)

czyli około 2 godziny 8 minut 24 sekundy.

[zr3456]

Treść zadania,jak dla mnie,jest sformułowana nieprecyzyjnie,ale zakładając opóźnienie \(\displaystyle{ 0,001s}\) na dobę(co nie wynika wprost z treści zadania) to opóźnienie po \(\displaystyle{ 2000}\) latach ma wpływ na wskazania czasu \(\displaystyle{ 2min \ 10s}\) i tyle należy dodać,aby wskazania czasu uniwersalnego zgadzały się z obrotem Ziemi i co jakiś czas obserwatoria dodają \(\displaystyle{ 1s}\); wyliczone opóźnienie ponad \(\displaystyle{ 2 h}\), jest za duże, w konfrontacji z pomiarami.
Nie rozumiem też cyt."Ostatecznie różnica między "spodziewaną" ilością obrotów Ziemi w czasie \(\displaystyle{ 20t_0}\), a rzeczywistą ilością obliczoną powyżej wynosi:czyli około \(\displaystyle{ 2}\) godziny \(\displaystyle{ 8}\) minut \(\displaystyle{ 24}\) sekundy." czyli liczenia obrotów w jednostkach czasu.

[matmatmm]

Treść zadania,jak dla mnie,jest sformułowana nieprecyzyjnie,ale zakładając opóźnienie \(\displaystyle{ 0,001s}\) na dobę(co nie wynika wprost z treści zadania)

Skąd wziąłeś tę liczbę?

To nie jest tak, że Ziemia obraca się wolniej w stałym tempie, tylko Ziemia obraca się coraz wolniej.

Ja założyłem, że w chwili obecnej Ziemia obraca się w "standardowym" tempie \(\displaystyle{ 86400s}\), natomiast przykładowo po 1 stuleciu 1 obrót będzie trwał \(\displaystyle{ 86400+0,001}\) sekund.

Nie rozumiem też cyt."Ostatecznie różnica między "spodziewaną" ilością obrotów Ziemi w czasie \(\displaystyle{ 20t_0}\), a rzeczywistą ilością obliczoną powyżej wynosi:czyli około \(\displaystyle{ 2}\) godziny \(\displaystyle{ 8}\) minut \(\displaystyle{ 24}\) sekundy." czyli liczenia obrotów w jednostkach czasu.

Wynik to w przybliżeniu \(\displaystyle{ 0,089162731}\) obrotu Ziemi (tutaj nie ma jednostki), a taka część obrotu Ziemi trwa właśnie \(\displaystyle{ 2}\) godziny \(\displaystyle{ 8}\) minut \(\displaystyle{ 24}\) sekundy.

[pesel]

Wynik to w przybliżeniu 0,089162731 obrotu Ziemi (tutaj nie ma jednostki)

Hmm, chyba jak mówię "dwa obroty Ziemi" to jednostką są "obroty Ziemi"?

[AiDi]

Teoretycznie można tak uważać, aczkolwiek w fizyce "liczba obrotów" jest wielkością bezwymiarową, więc jednostki mieć nie musi.

[zr3456]

Treść zadania,jak dla mnie,jest sformułowana nieprecyzyjnie,ale zakładając opóźnienie \(\displaystyle{ 0,001s}\) na dobę(co nie wynika wprost z treści zadania)

Skąd wziąłeś tę liczbę?

Założyłem,po prostu,że się pomyliłeś i opóźnienie\(\displaystyle{ 0,001 s}\) dotyczy 1 doby.Policzyłem następnie opóźnienie na 1 rok i coś by się zgadzało, bo dość często słyszy się,że obserwatoria dodają\(\displaystyle{ 1s}\)na koniec roku,aby czas uniwersalny zgadzał się z obiegiem rocznym Ziemi.
Zaznaczam,że to jest tylko takie wstępne oszacowanie.Wszystkie modele należy weryfikować z pomiarami.
Dlatego treść twojego zadania jest,jak dla mnie,dość mętna np. nie pasuje mi cyt."Zakładając, że długość dnia rośnie jednostajnie w tempie\(\displaystyle{ 0,001 s}\) na stulecie" - jest to wielkość za mała;następnie definiujesz w obliczeniach częstotliwość obiegu Ziemi i liczysz całkę;czy sprawdzone są te obliczenia,bo ja nie sprawdzałem;i najważniejsze, czy ten model zgadza się np.z danymi pomiarowymi za 1 wiek, bo pomiary od 1900r. są już bardzo dokładne;następnie piszesz cyt."oblicz łączny wpływ tego zjawiska na wskazania czasu po 20 stuleciach." pytanie- wskazania jakiego czasu?mojego zegarka?
Może się okazać,że coś przypadkowo zgadza ci się dla jakiegoś okresu(czasu),a nie zgadza z twardymi danymi pomiarowymi np. za ostatni wiek.

[matmatmm]

Opóźnienie oczywiście dotyczy 1 doby (nie 1 stulecia). Ale treść zadania należy rozumieć tak jak opisałem to w poprzednim poście.

w chwili obecnej Ziemia obraca się w "standardowym" tempie \(\displaystyle{ 86400s}\), natomiast przykładowo po 1 stuleciu 1 obrót będzie trwał \(\displaystyle{ 86400+0,001}\) sekund.

Co do zgodności z rzeczywistymi pomiarami nie wypowiadam się. Wszystkie moje obliczenia bazują jedynie na treści zadania.

następnie piszesz cyt."oblicz łączny wpływ tego zjawiska na wskazania czasu po 20 stuleciach." pytanie- wskazania jakiego czasu?mojego zegarka?

Nie widzę w tym sformułowaniu żadnych niejednoznaczności. Obecnie podstawowa jednostka czasu czyli sekunda jest zdefiniowana niezależnie od czasu trwania obrotu Ziemi. I oczywiście w tym zadaniu pomijamy wszelkie efekty relatywistyczne ( sformułowanie "mojego zegarka" nasuwa takie skojarzenia).

[zr3456]

Znalazłem w międzyczasie coś takiego;
Może to jest twoje opracowanie ?
Bazując na tej wiedzy(pamiętając,że w internecie każdy może coś sobie napisać) proponuję policzyć opóźnienie wg.twojego wzoru za ostatni wiek.Wyjaśniło się co to jest to twoje "opóźnienie\(\displaystyle{ 0,001 s}\) na wiek"- zobacz na jednostki.W świetle tego twój wynik za 2000 lat jest przypadkowo zbieżny;ciekaw jestem obliczeń za ostatni wiek;niestety dla modeli liniowych Ziemia do XVIII w. przyśpieszała !!! i to znacznie do 3ms na dobę !!!

[zr3456]

Parę uwag:
1.Liczenie skumulowanego opóźnienia, dla 2000 lat, z dokładnością do sekund bardzo "naukowo" wygląda i "budzi respekt";mam tylko pytanie,dlaczego do obliczeń przyjmuje się,że 1 rok to jest 365 dni ,a nie 365,25.....?
2.Zaćmienia Księżyca czy Słońca czy innych planet zależą wprost od wzajemnych położeń kątowych Ziemii,Słońca,Księżyca tj. tzw.opozycji i koniunkcji, a to jest związane z ruchem obiegowym planet wokół Słońca,a nie tylko wirowym tych planet.Poza tym skąd wiemy, czy ruch Księżyca wokół Ziemii był zawsze synchroniczny co gwarantuje,że widzimy zawsze tą samą tarczę Księżyca.
3.Obliczenie skumulowanego opóźnienia za pomocą całki " po czasie" z cżęstotliwości obrotu Ziemii wydają się logiczne ale mnie coś "tu nie pasuje", nie wiem dlaczego"?