Matematyka.pl

Trzech robotników kopałoby rów melioracyjny: pierwszy o 7 dni dłużej, drugi o 15 dni dłużej, trzeci trzy razy dłużej niż gdyby pracowali razem. W jakim czasie wykopią ten rów wspólnymi siłami?

\(\displaystyle{ x}\) - czas wspólnej pracy

\(\displaystyle{ \frac{1}{x+7}}\) - wydajność I robotnika
\(\displaystyle{ \frac{1}{x+15}}\) - wydajność II robotnika
\(\displaystyle{ \frac{1}{3x}}\) - wydajność III robotnika

Teraz masz równanie:

\(\displaystyle{ \frac{x}{x+7}+ \frac{x}{x+15}+ \frac{x}{3x} =1}\)

i oblicz: \(\displaystyle{ x}\)

Skąd to równanie. \(\displaystyle{ \frac{1}{x+7}}\), \(\displaystyle{ \frac{1}{x+15}}\), \(\displaystyle{ \frac{1}{3x}}\) to prędkości z jaką pracują poszczególni pracownicy. Co oznaczają te liczby \(\displaystyle{ \frac{x}{x+7}}\), \(\displaystyle{ \frac{x}{x+15}}\), \(\displaystyle{ \frac{x}{3x}}\) ?

\(\displaystyle{ \frac{x}{x+7}}\) - to praca jaką wykona I robotnik w ciągu \(\displaystyle{ x}\) dni
\(\displaystyle{ \frac{x}{x+15}}\) - to praca jaką wykona II robotnik w ciągu \(\displaystyle{ x}\) dni
\(\displaystyle{ \frac{x}{3x}}\) - to praca jaką wykona III robotnik w ciągu \(\displaystyle{ x}\) dni

Suma ich prac składa się na wykonanie całego zadania , a to jest równe \(\displaystyle{ 1}\).

Ale praca polega na wykopaniu rowu. Dlaczego w liczniku jest czas \(\displaystyle{ x}\). Np. praca którą wykonuje pierwszy pracownik to \(\displaystyle{ \frac{S}{x+7}}\) czyli prędkość wykopania rowu o długości \(\displaystyle{ S}\) czasie \(\displaystyle{ x+7}\).

-- 9 lip 2019, o 16:34 --

Dopiero teraz zauważyłem, że: \(\displaystyle{ \frac{S}{x+7}+ \frac{S}{x+15}+ \frac{S}{3x} = \frac{S}{x}}\)
czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{x+7}+ \frac{1}{x+15}+ \frac{1}{3x} = \frac{1}{x}}\). Nie rozumiem tylko dlaczego tak po prostu po dodaniu prędkości poszczególnych pracowników otrzymujemy prędkość wspólną?

Popatrz tutaj :
93467.htm

Możesz też poszukać moich postów z ,,moc".

Ale z czego wynika to, że w tych zadaniach możesz po prostu dodać moc poszczególnych zawodników i w ten sposób uzyskać wspólną moc ?

Można tak od razu pisać - przecież to prawda.

Można też powołać się na to, że suma prac wykonanych przez poszczególnych jest całą pracą.

Skoro \(\displaystyle{ P_1=\frac {W}{t_1}=\frac{W}{x+7}}\) to \(\displaystyle{ W_1=P_1\cdot t = \frac{W\cdot x}{x+7}}\) (co w zasadzie miałeś podane w podpowiedziach).

Jak może czytałeś, zapisuję równania używając całej pracy (W), która będzie skrócona, aby pokazać skąd są te zależności.

Zapis : \(\displaystyle{ \frac{1}{x+7}}\) oznacza dokładnie tyle,że pierwszy robotnik jest w stanie wykopać cały \(\displaystyle{ 1}\) rów w czasie \(\displaystyle{ x+7}\) dni . Jest to po prostu jego dzienna wydajność.

Kopiąc przez \(\displaystyle{ x}\) dni jest on w stanie wykopać: \(\displaystyle{ \frac{1}{x+7} \cdot x}\) całego rowu.

Podobnie drugi robotnik jest w stanie w tym samym czasie wykopać: \(\displaystyle{ \frac{1}{x+15} \cdot x}\) całego rowu, a ostatni wykopie: \(\displaystyle{ \frac{1}{3x} \cdot x}\) całego rowu.

Jeśli teraz dodamy do siebie te odcinki , to otrzymamy cały jeden rów , stąd po pawej stronie równania mamy \(\displaystyle{ 1}\) ( całość - czyli cały jeden rów )