Czas wspólnej pracy

Problemy matematyczne "ubrane" w życiowe problemy.
matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 220
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 82 razy

Czas wspólnej pracy

Post autor: matematykipatyk » 9 lip 2019, o 14:08

Trzech robotników kopałoby rów melioracyjny: pierwszy o 7 dni dłużej, drugi o 15 dni dłużej, trzeci trzy razy dłużej niż gdyby pracowali razem. W jakim czasie wykopią ten rów wspólnymi siłami?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 478
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 112 razy

Re: Czas wspólnej pracy

Post autor: Belf » 9 lip 2019, o 14:29

\(\displaystyle{ x}\) - czas wspólnej pracy

\(\displaystyle{ \frac{1}{x+7}}\) - wydajność I robotnika
\(\displaystyle{ \frac{1}{x+15}}\) - wydajność II robotnika
\(\displaystyle{ \frac{1}{3x}}\) - wydajność III robotnika

Teraz masz równanie:

\(\displaystyle{ \frac{x}{x+7}+ \frac{x}{x+15}+ \frac{x}{3x} =1}\)

i oblicz: \(\displaystyle{ x}\)

matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 220
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 82 razy

Re: Czas wspólnej pracy

Post autor: matematykipatyk » 9 lip 2019, o 16:02

Skąd to równanie. \(\displaystyle{ \frac{1}{x+7}}\), \(\displaystyle{ \frac{1}{x+15}}\), \(\displaystyle{ \frac{1}{3x}}\) to prędkości z jaką pracują poszczególni pracownicy. Co oznaczają te liczby \(\displaystyle{ \frac{x}{x+7}}\), \(\displaystyle{ \frac{x}{x+15}}\), \(\displaystyle{ \frac{x}{3x}}\) ?

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 478
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 112 razy

Re: Czas wspólnej pracy

Post autor: Belf » 9 lip 2019, o 16:06

\(\displaystyle{ \frac{x}{x+7}}\) - to praca jaką wykona I robotnik w ciągu \(\displaystyle{ x}\) dni
\(\displaystyle{ \frac{x}{x+15}}\) - to praca jaką wykona II robotnik w ciągu \(\displaystyle{ x}\) dni
\(\displaystyle{ \frac{x}{3x}}\) - to praca jaką wykona III robotnik w ciągu \(\displaystyle{ x}\) dni

Suma ich prac składa się na wykonanie całego zadania , a to jest równe \(\displaystyle{ 1}\).
Ostatnio zmieniony 9 lip 2019, o 20:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 220
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 82 razy

Re: Czas wspólnej pracy

Post autor: matematykipatyk » 9 lip 2019, o 16:52

Ale praca polega na wykopaniu rowu. Dlaczego w liczniku jest czas \(\displaystyle{ x}\). Np. praca którą wykonuje pierwszy pracownik to \(\displaystyle{ \frac{S}{x+7}}\) czyli prędkość wykopania rowu o długości \(\displaystyle{ S}\) czasie \(\displaystyle{ x+7}\).

-- 9 lip 2019, o 16:34 --

Dopiero teraz zauważyłem, że: \(\displaystyle{ \frac{S}{x+7}+ \frac{S}{x+15}+ \frac{S}{3x} = \frac{S}{x}}\)
czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{x+7}+ \frac{1}{x+15}+ \frac{1}{3x} = \frac{1}{x}}\). Nie rozumiem tylko dlaczego tak po prostu po dodaniu prędkości poszczególnych pracowników otrzymujemy prędkość wspólną?
Ostatnio zmieniony 9 lip 2019, o 20:19 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: po prostu.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23050
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3125 razy

Re: Czas wspólnej pracy

Post autor: piasek101 » 9 lip 2019, o 20:07

Popatrz tutaj :
93467.htm

Możesz też poszukać moich postów z ,,moc".

matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 220
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 82 razy

Re: Czas wspólnej pracy

Post autor: matematykipatyk » 10 lip 2019, o 11:02

Ale z czego wynika to, że w tych zadaniach możesz po prostu dodać moc poszczególnych zawodników i w ten sposób uzyskać wspólną moc ?

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23050
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3125 razy

Re: Czas wspólnej pracy

Post autor: piasek101 » 10 lip 2019, o 12:54

Można tak od razu pisać - przecież to prawda.

Można też powołać się na to, że suma prac wykonanych przez poszczególnych jest całą pracą.

Skoro \(\displaystyle{ P_1=\frac {W}{t_1}=\frac{W}{x+7}}\) to \(\displaystyle{ W_1=P_1\cdot t = \frac{W\cdot x}{x+7}}\) (co w zasadzie miałeś podane w podpowiedziach).

Jak może czytałeś, zapisuję równania używając całej pracy (W), która będzie skrócona, aby pokazać skąd są te zależności.

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 478
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 112 razy

Re: Czas wspólnej pracy

Post autor: Belf » 10 lip 2019, o 13:14

Zapis : \(\displaystyle{ \frac{1}{x+7}}\) oznacza dokładnie tyle,że pierwszy robotnik jest w stanie wykopać cały \(\displaystyle{ 1}\) rów w czasie \(\displaystyle{ x+7}\) dni . Jest to po prostu jego dzienna wydajność.

Kopiąc przez \(\displaystyle{ x}\) dni jest on w stanie wykopać: \(\displaystyle{ \frac{1}{x+7} \cdot x}\) całego rowu.

Podobnie drugi robotnik jest w stanie w tym samym czasie wykopać: \(\displaystyle{ \frac{1}{x+15} \cdot x}\) całego rowu, a ostatni wykopie: \(\displaystyle{ \frac{1}{3x} \cdot x}\) całego rowu.

Jeśli teraz dodamy do siebie te odcinki , to otrzymamy cały jeden rów , stąd po pawej stronie równania mamy \(\displaystyle{ 1}\) ( całość - czyli cały jeden rów )

ODPOWIEDZ