Stężenie procentowe roztworu

Problemy matematyczne "ubrane" w życiowe problemy.
matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 220
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 82 razy

Stężenie procentowe roztworu

Post autor: matematykipatyk » 7 lip 2019, o 14:51

Naczynie litrowe jest całkowicie napełnione \(\displaystyle{ 80\%}\) roztworem soli. Ile należy odlać z naczynia roztworu, aby po uzupełnieniu zawartości naczynia czystą wodą otrzymać roztwór \(\displaystyle{ 50\%}\) ?
Ostatnio zmieniony 8 lip 2019, o 13:42 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5709
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1242 razy

Stężenie procentowe roztworu

Post autor: janusz47 » 7 lip 2019, o 16:19

118871.htm

Awatar użytkownika
pesel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1587
Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 384 razy

Stężenie procentowe roztworu

Post autor: pesel » 7 lip 2019, o 16:42

matematykipatyk pisze:Naczynie litrowe jest całkowicie napełnione 80% roztworem soli. Ile należy odlać z naczynia roztworu, aby po uzupełnieniu zawartości naczynia czystą wodą otrzymać roztwór 50 % ?
Z tymi danymi bez szans na rozwiązanie. No chyba, że założymy, że chodzi o procenty objętościowe ale to raczej absurdalne w przypadku roztworów soli. Podobnie jak założenie, że oba roztwory mają taką samą gęstość.
Jakbyś znał gęstość obu roztworów to całkiem inna bajka.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5709
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1242 razy

Stężenie procentowe roztworu

Post autor: janusz47 » 7 lip 2019, o 17:13

Jest to zadanie szkolne na poziomie gimnazjum na zwykłe przeliczenia procentowe. Takie zadania pojawiały się i pojawiają na egzaminach, a także znajdują się w podręcznikach szkolnych.

Awatar użytkownika
pesel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1587
Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 384 razy

Stężenie procentowe roztworu

Post autor: pesel » 7 lip 2019, o 17:23

Nigdy z takim zadaniem na przeliczenie stężeń procentowych się nie spotkałem.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5709
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1242 razy

Stężenie procentowe roztworu

Post autor: janusz47 » 7 lip 2019, o 20:42

Na przykład

Bronisław Ladaczek. Jak rozwiązywać zadania z treścią.

Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 251
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 44 razy

Stężenie procentowe roztworu

Post autor: Gosda » 7 lip 2019, o 22:39

Niestety, taki urok szkolnych zadań, że nie zawsze mają sens (na przykład w kombinatoryce losowane obiekty zawsze powinny być rozróżnialne, co na to licealne podręczniki?).

Wracając do tematu. Załóżmy, że wszystkie stężenia są objętościowe. Na początku w naczyniu jest 800 ml soli oraz \(\displaystyle{ 200 ml}\) wody. Na końcu chcemy mieć \(\displaystyle{ 500 ml}\) soli oraz \(\displaystyle{ 500 ml}\) wody. Należy więc odlać \(\displaystyle{ 300 ml}\) soli (oraz proporcjonalnie dużo wody), to jest

\(\displaystyle{ \frac 38 = 37.5\%}\)

roztworu.

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6470
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 1042 razy

Stężenie procentowe roztworu

Post autor: kruszewski » 7 lip 2019, o 23:23

Zróbmy virtualnie tak:
Niech roztwór będzie w naczyniu o wysokości \(\displaystyle{ H=1}\) i polu powierzchni dna równej jednostce powierzchni.
Rozpuszczoną substancję (nie zmieniając jej ilości) zagęszczamy do \(\displaystyle{ 100 \%}\) i zauważamy, że zajmuję ona naczynie do \(\displaystyle{ 80 \%}\) wysokości.
Na to, aby roztwór (w tym naczyniu) miał \(\displaystyle{ 50 \%}\) stężenia, co rozumiemy tu że stężona w \(\displaystyle{ 100 \%}\) substancja zajmuje połowę objętości naczynia, czyli ma sięgać do połowy jego wysokości, a to oznacza konieczność usunięcia warstwy substancji o gęstości \(\displaystyle{ 100 \%}\) stężenia o \(\displaystyle{ (0,8 -0,5)H}\) wysokości. czyli odlania z naczynia objętości :

\(\displaystyle{ \frac{0,3H}{0,8}= \frac{3}{8}H}\)-- 8 lip 2019, o 01:36 --Rozwiązanie obrazkowe:
Ukryta treść:    

Guzzi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 191
Rejestracja: 10 gru 2012, o 12:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 52 razy

Stężenie procentowe roztworu

Post autor: Guzzi » 8 lip 2019, o 09:39

Zadanie kompletnie nie ma sensu dla substancji stałych, których maksymalne stężenie w roztworze wodnym definiuje tabela rozpuszczalności. Natomiast w przypadku cieczy, które mieszają się z wodą w nieograniczonym stosunku łatwo podać przykład, który potwierdza wątpliwość obliczeń, np. roztwór woda-etanol. Popatrzmy.

Etanol o stężeniu \(\displaystyle{ 100 \%}\) ma gęstosć \(\displaystyle{ 0,78934 \ g/cm ^{3}}\)
Etanol o stężeniu \(\displaystyle{ 80 \%}\) ma gęstosć \(\displaystyle{ 0,84344 \ g/cm ^{3}}\)
Etanol o stężeniu \(\displaystyle{ 50 \%}\) ma gęstosć \(\displaystyle{ 0,91384 \ g/cm ^{3}}\)

Dane dla temperatury \(\displaystyle{ 293 \ K}\).

Weźmy \(\displaystyle{ 1 \ dm ^{3}}\) roztworu o stężeniu \(\displaystyle{ 80 \%}\) i odparujmy z niego wodę aby otrzymać czysty etanol (oczywiście pomijam kwestie techniczne sposobu usunięcia wody z układu woda-etanol, który tworzy azeotrop), którego masa wynosi:

\(\displaystyle{ m_{s}= V_{r} \cdot d_{80 \% } \cdot C_{80 \%} \approx 674,752 \ g}\)

Jego objętość natomiast:

\(\displaystyle{ V= \frac{m_{s}}{d_{100 \% }} \approx 854,831 \ cm^{3}}\)

Czyli nie \(\displaystyle{ 800 \ cm^{3}}\) jak zostało zasugerowane rysunkiem.

Pójdźmy dalej i załóżmy, że odlaliśmy pewną ilość roztworu \(\displaystyle{ 80 \%}\) i dopełniliśmy pozostałość do "kreski" otrzymując ponownie \(\displaystyle{ 1 \ dm ^{3}}\) roztworu tym razem o stężeniu \(\displaystyle{ 50 \%}\). Masa etanolu w tym roztworze wynosi:

\(\displaystyle{ m_{s}= \frac{V_{r} \cdot d_{50 \% } \cdot C_{50 \%}}{100 \% } \approx 456,920 \ g}\)

Różnica masy etanolu:

\(\displaystyle{ \Delta m_{s} \approx 217,832 \ g}\)

Aby usunąć różnice etanolu z wyjściowego roztworu o stężeniu \(\displaystyle{ 80 \%}\) należy odlać następującą objętość roztworu:

\(\displaystyle{ V_{\Delta m_{r} } = \frac{\Delta m_{s} \cdot 100 \% }{ C_{80 \%} \cdot d_{80 \% } } \approx 322,833 \ cm ^{3}}\)

Zakładając, że naczynie ma przekrój o powierzchni \(\displaystyle{ 10 \ cm^{2}}\) oraz wysokość \(\displaystyle{ 100 \ cm}\) wynika, że trzeba odlać około \(\displaystyle{ 32,3 \ cm}\), a nie \(\displaystyle{ \frac{3}{8}H=37,5 \ cm}\) cieczy.

Warto policzyć ile wody należało dolać aby uzyskać roztwór o stężeniu \(\displaystyle{ 50 \%}\). Okazuje się, że jej objętość jest większa niż objętość odlanej cieczy. Wynosi ona \(\displaystyle{ V_{H _{2}O } \approx 342,7 \ cm ^{3}}\)

Przytoczony przykład tylko potwierdził słuszność uwag, które wniósł pesel.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5709
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1242 razy

Stężenie procentowe roztworu

Post autor: janusz47 » 8 lip 2019, o 11:02

Czy trzeba stosować popisową znajomość chemii w tym szkolnym zadaniu, żeby powiedzieć , że nie ma ono sensu. Może i nie ma, ale od lat istnieje i będzie istnieć w szkolnym obiegu.

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6470
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 1042 razy

Stężenie procentowe roztworu

Post autor: kruszewski » 8 lip 2019, o 13:38

Ja myślę, że w tym naczyniu są dwie ciecze o jednakowej lub nie gęstości ale różne.
Ich "chemia" nie jest interesująca tak jak i sposób łączenia. Są i pozwolą się zmieszać.
Jedną, nie ważne którą, napełniono naczynie w 8/10 objętości i dopełniono do pełna drugą cieczą. Wymieszano otrzymując ciekłą mieszaninę zawierającą 80% pierwszej.

Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3435
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 633 razy

Stężenie procentowe roztworu

Post autor: AiDi » 8 lip 2019, o 13:47

janusz47 pisze:Czy trzeba stosować popisową znajomość chemii w tym szkolnym zadaniu, żeby powiedzieć , że nie ma ono sensu.
Tak, trzeba. Zawsze warto przedyskutować dlaczego taki problem jest problemem źle postawionym. To pouczające i ciekawe.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5709
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1242 razy

Re: Stężenie procentowe roztworu

Post autor: janusz47 » 8 lip 2019, o 18:48

Wzory i zadania na stężenia procentowe z podręcznika dla klasy siódmej z działu procenty - zadania tekstowe

\(\displaystyle{ Masa \ \ roztworu = masa \ \ substancji + masa \ \ rozpuszczalnika}\)

Stężenie \(\displaystyle{ \% = \frac{masa \ \ substancji}{masa \ \ rozpuszczalnika}\cdot 100 \% \ \ (1)}\)

Zadanie 45 strona 210

a) Ile soli trzeba wsypać do \(\displaystyle{ 23 kg}\) wody, aby otrzymać roztwór ośmioprocentowy?

b) Ile soli trzeba wsypać do \(\displaystyle{ 21 kg}\) soli pięcioprocentowej, aby otrzymać solankę siedmioprocentową?

c) Ile wody trzeba dolać do \(\displaystyle{ 3 kg}\) solanki dziesięcioprocentowej, aby otrzymać solankę sześcioprocentową.

Zadanie *46 strona 210

Ile solanki sześcioprocentowej należy wlać do \(\displaystyle{ 12 kg}\) solanki dwuprocentowej, aby otrzymać solankę trzyprocentową?

Jak wspomniał Pan Kruszewski nie interesuje nas chemia w tych zadaniach, sposoby łączenia się substancji i rozpuszczalnika ich gęstości lecz umiejętność stosowania wzoru \(\displaystyle{ (1).}\)

Awatar użytkownika
pesel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1587
Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 384 razy

Stężenie procentowe roztworu

Post autor: pesel » 8 lip 2019, o 19:57

janusz47 pisze:\(\displaystyle{ Steznie \% = \frac{masa \ \ substancji}{masa \ \ rozpuszczalnika}\cdot 100 \% \ \ (1)}\)
Nie sądzę aby taki wzór był podany nawet w książce dla gimnazjum.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5709
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1242 razy

Re: Stężenie procentowe roztworu

Post autor: janusz47 » 8 lip 2019, o 20:04

Oczywiście

Stężenie \(\displaystyle{ \% = \frac{masa \ \ substancji}{masa \ \ roztworu}\cdot 100 \% \ \ (1)}\)

ODPOWIEDZ