Wyznacz wszystkie liczby

[Euler41]

Wyznacz wszystkie liczby \(\displaystyle{ a}\), dla których odwrotnością liczby \(\displaystyle{ b = \sqrt{a} - 5}\) jest liczba \(\displaystyle{ c = \frac{1}{24} \sqrt{a} + 5}\)
Oblicz sumę liczb \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\).

Mi wyszło, że \(\displaystyle{ a = 49}\), nie widzę niestety pozostałych rozwiązań.

\(\displaystyle{ b + c = 2 + \frac{1}{2} = 2\frac{1}{2}}\)

[Premislav]

Widzimy, że \(\displaystyle{ (b+5)^2=a}\) oraz że \(\displaystyle{ (c-5)^2=\frac{1}{576}a}\), czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} c=\frac 1 b \\ (b+5)^2=(24c-120)^2 \end{cases}}\)
a to daje takie dwa przypadki do rozważenia:
\(\displaystyle{ \begin{cases} c=\frac 1b \\ b+5=24c-120 \end{cases}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \begin{cases} c=\frac 1b \\ b+5=120-24c \end{cases}}\)
Po podstawieniu \(\displaystyle{ c=\frac 1 b}\) i prostym przekształceniu masz do rozwiązania dwa równania kwadratowe zmiennej \(\displaystyle{ b}\). Niewykluczone, że da się to rozwiązać sprytniej, ale ten sposób i tak jest dość szybki.

[Euler41]

Premislav, wyszły mi cztery wyniki niewymierne, natomiast brak jest mojego \(\displaystyle{ 49}\), który również pasuje.

[Jan Kraszewski]

natomiast brak jest mojego \(\displaystyle{ 49}\), który również pasuje.

Ale do czego pasuje? Bo na pewno nie do zadania. Odwrotnością liczby \(\displaystyle{ b= \sqrt{49}-5=2}\) nie jest liczba \(\displaystyle{ c = \frac{1}{24} \sqrt{49} + 5=\frac{127}{24}}\).

Zapomniałeś o kolejności wykonywania działań.

JK

[Euler41]

Ojej, moje roztargnienie, liczba \(\displaystyle{ c = \frac{1}{24} \left( \sqrt{a} + 5\right)}\).

[Jan Kraszewski]

No to zupełnie zmienia postać rzeczy - Premislav rozwiązał Twoje "wyjściowe" zadanie.

JK

[thefoxi]

\(\displaystyle{ a \ge 0}\)

skoro \(\displaystyle{ b= \sqrt{a} - 5}\)

to \(\displaystyle{ c= \frac{1}{b} = \frac{1}{\sqrt{a}-5}=\frac{\sqrt{a}+5}{24}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{a}-5}=\frac{\sqrt{a}+5}{24}}\)

\(\displaystyle{ (\sqrt{a}-5)(\sqrt{a}+5)=24}\)

\(\displaystyle{ |a|-25=24}\)

...co daje tylko jedno rozwiązanie równe \(\displaystyle{ a=49}\)

[Euler41]

thefoxi, czyli mowa o wszystkich liczbach, to podpucha?

[thefoxi]

W pewnym sensie. "wyznacz wszystkie liczby" sugeruje poniekąd, że tych liczb może być więcej. Ale nie oznacza, że koniecznie więcej niż jedna. Jeśli tylko jedna liczba spełnia dane równanie, to mając na myśli "wszystkie liczby" oznacza tylko tę jedną.

[Jan Kraszewski]

Dokładniej: chodzi o to, żeby uzasadnić, że wskazane liczby (bądź liczba) istotnie stanowią jedyne rozwiązania równania.

JK