Problem z rozwiązaniem- "wypłata w różnych nominałach"

[neja_navi]

Witam, usłyszałam w jednym z seriali proste zadanie, które na logikę rozwiązałam. Ale matematycznie mi się zupełnie nie zgadza. Treść zadania: "człowiek dostał wypłatę 1200 zł w banknotach 100zł, 50 zł i 20 zł. Banknotów 100zł było 2 razy więcej niż 50 zł. A banknotów 20 zł o 2 więcej niż 100 zł". Rozwiązanie metodą kombinowania i podstawiania w 10 sekund: 8 x 100zł, 4x 50zł i 10x 20 zł. Ale...matematycznie nic mi się nie zgadza

założyłam, że
x= liczba banknotów 100zł,
y=liczba banknotów 50 zł,
z= liczba banknotów 20zł

\(\displaystyle{ x+y+z = 1200}\)
\(\displaystyle{ x=2y}\)
\(\displaystyle{ z=x-2}\)

\(\displaystyle{ x+x/2+x-2=1200}\)
\(\displaystyle{ 1,5x+x-2=1200}\)
\(\displaystyle{ 2,5x -2=1200}\)
\(\displaystyle{ 2,5x=1202}\)
\(\displaystyle{ x=480,8}\)

Przy zapisie równania z wartością banknotów:
\(\displaystyle{ 100x+50y+20z=1200}\)
\(\displaystyle{ 100x=2 \cdot 50y}\)
\(\displaystyle{ 50x=50y}\)
\(\displaystyle{ 20z=100(x-2)}\)
podstawiając
\(\displaystyle{ 100x+50x+100x-200=1200}\)
\(\displaystyle{ 100x+50x+100x=1000}\)
\(\displaystyle{ 250x=1000}\)
\(\displaystyle{ x=4}\)
Czy ktoś może mnie wspomóc i wyjaśnić, którędy droga?

[piasek101]

\(\displaystyle{ z=x-2}\) to masz źle

[edit] Aaa i dalej też - przecież jak dodajesz te x-sy to nie otrzymujesz kasy.

[neja_navi]

\(\displaystyle{ z=x-2}\) to masz źle

to znaczy, że jakie powinno być założenie, jeśli z=x-2 jest źle? W końcu banknotów o nominale 20 zł jest o 2 banknoty mniej, niż 100zł. Chyba że całe równanie, które napisałam jako pierwsze będzie źle - wtedy poprawne wydaje się być drugie równanie, ale tu również nie wychodzi właściwy wynik.

[edit] Aaa i dalej też - przecież jak dodajesz te x-sy to nie otrzymujesz kasy.

Niestety ta odpowiedź jest tak bardzo nieprecyzyjna, że w żaden sposób mi nie pomogła. Sama widzę, że jest źle, bo matematycznie nie wychodzi ta odpowiedź, która wychodzi na logikę i która jest zgodna ze sposobem rozliczenia się w życiu.
Dlatego pytanie zostaje otwarte a zadanie nierozwiązane: co jest konkretnie źle i jak wygląda właściwe równanie do tego?

[piasek101]

1) skoro (z) ma być większe od (x) to równanie \(\displaystyle{ z=x-2}\) jest złe.

2) Piszesz ,, \(\displaystyle{ x +x/2+x-2=1200}\)" na lewej masz ilość banknotów (złą - patrz 1), a na prawej ilość pieniędzy - czyli równanie jest złe.

Jak poprawisz (1) i ułożysz równanie ,,kasa = kasa" to rozwiążesz.

[a4karo]

Oczywiście nie zachodzi \(\displaystyle{ x+y+z=1200}\)

[Elayne]

Najprościej to zadanie jest rozwiązać przez dedukcję. Jeśli ma być rozwiązane przez układ równań, to proponuje coś takiego:
W tym zadaniu jest bardzo subtelny haczyk a mianowicie, że banknotów o nominale \(\displaystyle{ 20}\) złotych było o dwa więcej niż banknotów o nominale \(\displaystyle{ 100}\) złotych. Przyjmijmy więc, że na początku mamy już te dwa banknoty \(\displaystyle{ 20}\) złotowe. W konsekwencji tego mamy następującą sytuację: na każdy jeden banknot \(\displaystyle{ 50}\) zł dostajemy dwa banknoty \(\displaystyle{ 100}\) zł i dwa banknoty \(\displaystyle{ 20}\) zł ...

[neja_navi]

1) skoro (z) ma być większe od (x) to równanie \(\displaystyle{ z=x-2}\) jest złe.

2) Piszesz ,, \(\displaystyle{ x +x/2+x-2=1200}\)" na lewej masz ilość banknotów (złą - patrz 1), a na prawej ilość pieniędzy - czyli równanie jest złe.

Jak poprawisz (1) i ułożysz równanie ,,kasa = kasa" to rozwiążesz.

Dziękuję, już rozumiem błąd myślenia, choć to nie wydawało się oczywiste na początku. Jeśli ktokolwiek byłby w stanie mi podpowiedzieć, jak miałoby wyglądać równanie - będę bardzo wdzięczna.-- 18 wrz 2018, o 20:01 --

Najprościej to zadanie jest rozwiązać przez dedukcję. Jeśli ma być rozwiązane przez układ równań, to proponuje coś takiego:
W tym zadaniu jest bardzo subtelny haczyk a mianowicie, że banknotów o nominale \(\displaystyle{ 20}\) złotych było o dwa więcej niż banknotów o nominale \(\displaystyle{ 100}\) złotych. Przyjmijmy więc, że na początku mamy już te dwa banknoty \(\displaystyle{ 20}\) złotowe. W konsekwencji tego mamy następującą sytuację: na każdy jeden banknot \(\displaystyle{ 50}\) zł dostajemy dwa banknoty \(\displaystyle{ 100}\) zł i dwa banknoty \(\displaystyle{ 20}\) zł ...

Dziękuję, zdaję sobie sprawdzę, że przy dedukcji jest prościej i szybciej. Nurtowało mnie jednak dlaczego matematycznie "nie wychodzi" i jak przekształcić to zadanie aby w równaniu było dobrze. Czy równanie o takim założeniu byłoby prawdziwe? W końcu banknotów 20 zł jest o 2 więcej niż 100 zł. Więc na każdy banknot 50 zł przypadają 2 banknoty 100 zł i 2 banknoty 20 zł + 2 banknoty 20 zł (i te ostatnie 2 stanowią część niezmienną). analogicznie:
\(\displaystyle{ 1 \cdot 50 zł +2 \cdot 100zł + 2 \cdot 20 zł + 2 \cdot 20zł \neq 1200zł}\)
\(\displaystyle{ 2 \cdot 50 zł + 4 \cdot 100zł + 4 \cdot 20 zł +2 \cdot 20 zł \neq 1200zł}\)
.....
\(\displaystyle{ 4 \cdot 50zł + 8 \cdot 100zł+ 8 \cdot 20 zł + 2 \cdot 20 zł =1200zł}\)

I to oczywiście jest logiczne. Ale nie o taką postać równania mi chodziło właśnie I nie wiem nadal jak to przedstawić w formie równania. Nie da się?

[Elayne]

Jeden banknot \(\displaystyle{ 50}\) zł plus \(\displaystyle{ 2}\) banknoty \(\displaystyle{ 100}\) zł plus \(\displaystyle{ 2}\) banknoty \(\displaystyle{ 20}\) zł \(\displaystyle{ = 290}\) zł

\(\displaystyle{ (1200 \text{ zł } - 40 \text{ zł })/ 290 \text{ zł } = 4}\)

\(\displaystyle{ 4 \times}\) (jeden banknot \(\displaystyle{ 50}\) zł; \(\displaystyle{ 2}\) banknoty \(\displaystyle{ 100}\) zł; \(\displaystyle{ 2}\) banknoty \(\displaystyle{ 20}\) zł)
\(\displaystyle{ 4}\) banknoty \(\displaystyle{ 50}\) zł, \(\displaystyle{ 8}\) banknotów \(\displaystyle{ 100}\) zł, \(\displaystyle{ 8}\) banknotów \(\displaystyle{ 20}\) zł plus \(\displaystyle{ 2}\) banknoty \(\displaystyle{ 20}\) zł które odłożyliśmy na początku.

[piasek101]

W formie równania :

\(\displaystyle{ x\cdot 100+y\cdot 50 + z\cdot 20=1200}\)

skoro \(\displaystyle{ x=2y}\) oraz (poprawnie) \(\displaystyle{ z=x+2}\) czyli ostatnie to \(\displaystyle{ z=2y+2}\)

mamy \(\displaystyle{ 2y\cdot100+y\cdot50+(2y+2)\cdot 20=1200}\)



Albo ,,na x-sach" :

\(\displaystyle{ x\cdot 100+\frac{x}{2}\cdot 50+(x+2)\cdot 20=1200}\)

[neja_navi]

W formie równania :

\(\displaystyle{ x\cdot 100+y\cdot 50 + z\cdot 20=1200}\)

skoro \(\displaystyle{ x=2y}\) oraz (poprawnie) \(\displaystyle{ z=x+2}\) czyli ostatnie to \(\displaystyle{ z=2y+2}\)

mamy \(\displaystyle{ 2y\cdot100+y\cdot50+(2y+2)\cdot 20=1200}\)



Albo ,,na x-sach" :

\(\displaystyle{ x\cdot 100+\frac{x}{2}\cdot 50+(x+2)\cdot 20=1200}\)

Dziękuję, już rozumiem.