Rozwinięcia dziesiętne liczb

[hwite]

Witam,
1) Na którym miejscu po przecinku w rozwinięciach dziesiętnych liczb \(\displaystyle{ 1,8(39)}\) i \(\displaystyle{ 0,(1234567)}\) występuje ta sama cyfra?

Wiem że na \(\displaystyle{ 10}\) i \(\displaystyle{ 24}\) miejscu są \(\displaystyle{ 3}\), tylko doszedłem do tego wypisując kolejne cyfry, a jestem ciekaw czy da się dojść do tego jakoś inaczej, czy da się wywnioskować to z tego na których pozycjach są teraz te trójki i kiedy się spotkają, jestem pewien że się da, tylko nie potrafię sobie tego wyobrazić i proszę o pomoc, bo chciałbym znaleźć wzór który by mi dawał \(\displaystyle{ n}\)-te spotkanie tych samych cyfr.

2) Czy zaokrąglanie np. \(\displaystyle{ 1}\) do setek daje wynik \(\displaystyle{ 0}\) czy uznaje się to za niemożliwe/sprzeczne?

Pozdrawiam

[a4karo]

2) a czymże jest wiaderko węgla przy tonie?

[PokEmil]

1) Rozpiszmy pierwszą liczbę. \(\displaystyle{ 1,8(39)=1,839393939393939393939...}\) - trójki są na miejscach:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22... po przecinku.
Analogicznie rozpisz drugą liczbę i spróbuj wyznaczyć jakiś wzór dla obu wyrażeń.

EDIT:
Chodzi ci o to, kiedy w obu rozwinięciach występuje na \(\displaystyle{ n}\)-tym miejscu liczba \(\displaystyle{ 3}\)?
Wtedy sprawa jest nieco trudniejsza.
Zakładam, że doszedłeś że w \(\displaystyle{ 1,8(39)}\) na \(\displaystyle{ 2x}\)-tym miejscu jest liczba \(\displaystyle{ 3}\), a w liczbie \(\displaystyle{ 0,(1234567)}\) liczba \(\displaystyle{ 3}\) występuje na miejscu \(\displaystyle{ 7y+3}\).
Mamy: \(\displaystyle{ 2x=7y+3}\). Lewa strona jest parzysta więc prawa też musi być. Zatem liczba \(\displaystyle{ 7y}\) musi być nieparzysta, więc także \(\displaystyle{ y}\) musi być nieparzysta. Więc możemy zapisać, że \(\displaystyle{ y=2z-1}\).
A więc, w liczbie \(\displaystyle{ 0,(1234567)}\) liczba \(\displaystyle{ 3}\) występuje na miejscu: \(\displaystyle{ 7y+3=7(2z-1)+3 = 14z - 7 + 3 = 14z-4}\). Jako że ta liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\), to także i liczba \(\displaystyle{ 3}\) występuje na miejscu \(\displaystyle{ 14z - 4}\)-tym w rozwinięciu \(\displaystyle{ 1,8(39)}\). Oczywiście liczby \(\displaystyle{ x, y, z}\) to dowolne liczby całkowite dodatnie.
Sprawdzając, faktycznie na dowolnym \(\displaystyle{ 14z-4}\)-tym miejscu znajduje się liczba \(\displaystyle{ 3}\) w obu tych rozwinięciach.

Czy rozumiesz to? Nie jest to proste, gdyż nie są to standardowe, "szkolne" metody. Jeśli chciałbyś spróbować swoich sił to spróbuj wyznaczyć na których miejscach w obu rozwinięciach dziesiętnych występuje cyfra \(\displaystyle{ 2}\) w liczbach: \(\displaystyle{ 0,(12)}\) oraz \(\displaystyle{ 0,1(212)}\).

[hwite]

a4karo - Dzięki.

PokEmil - ja wymyśliłem taki wzór, \(\displaystyle{ x = 10 +14n}\) dla naturalnych, ale twój chyba jest lepszy, bo mój wynika ze znalezienia pierwszej takiej liczby. Czyli to jest \(\displaystyle{ 2x = 14z - 4}\) czy \(\displaystyle{ x = 14z - 4}\), bo jakoś nie wiem.
Wydaje mi się, że \(\displaystyle{ 2x}\) to tak było tylko dla wyjaśnienia, bo z tym nie działa, na wypadek pytam.
Tak to wszystko rozumiem, jeszcze jestem ciekaw czy da się to jakoś udowodnić że to działa, bez wypisywania.

A \(\displaystyle{ 0,(12)}\) i \(\displaystyle{ 0,1(212)}\) to ta sama liczba chyba, tak to wygląda i będą dwójki na co drugim miejscu w obu wiec dla \(\displaystyle{ 2x}\) czy tam \(\displaystyle{ 2n}\).

[PokEmil]

Myślę że moje rozwiązanie jest dowodem na to że działa I oczywiście twój wzór też jest w pełni prawidłowy! Po prostu \(\displaystyle{ z=n+1}\). Wówczas, \(\displaystyle{ 14z-4 = 14(n+1) - 4 = 14n + 14 - 4 = 14n + 10}\) i mamy twój wzór! Jedyną różnicą jest, że \(\displaystyle{ z \ge 1}\), a \(\displaystyle{ n \ge 0}\).

U mnie wzięło się \(\displaystyle{ 2x = 7y+3}\) stąd, że chcemy żeby na obu tych miejscach była taka sama cyfra. Chociaż fachowo to pewnie powinno być \(\displaystyle{ f(2x) = f(7y+3)=3 \ \Rightarrow}\) na tym samym miejscu będą liczby, które mogą być zapisane jednocześnie jako \(\displaystyle{ 2x}\) oraz \(\displaystyle{ 7y+3}\), więc można zapisać że dla pewnych \(\displaystyle{ x, y}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ 2x = 7y+3}\), (gdzie \(\displaystyle{ f( \alpha )}\) to wartość cyfry na \(\displaystyle{ \alpha}\)-tym miejscu po przecinku rozwinięcia podanego rozwinięcia) czy coś. Co do ostatniego zdania nie jestem pewien, to musiałby potwierdzić jakiś fachowiec.

A i jeszcze raz, aby rozjaśnić:
Na dowolnym \(\displaystyle{ 2x}\)-tym miejscu rozwinięcia \(\displaystyle{ 1,8(39)}\) występuje cyfra \(\displaystyle{ 3}\).
Na dowolnym \(\displaystyle{ 7y+3}\)-tym miejscu rozwinięcia \(\displaystyle{ 0,(1234567)}\) występuje cyfra \(\displaystyle{ 3}\).
Na dowolnym \(\displaystyle{ 14z-4 = 14n+10}\)-tym miejscu obu rozwinięć: zarówno \(\displaystyle{ 1,8(39)}\) jak i \(\displaystyle{ 0,(1234567)}\) występuje cyfra \(\displaystyle{ 3}\).

A co do mojego przykładu:
\(\displaystyle{ 0,(12)=0,1212121212...}\) natomiast \(\displaystyle{ 0,1(212)=0,1212212212...}\).
Jaka cyfra wystepuje w szóstym miejscu po przecinku?
A, jednak teraz myślę że łatwiej będzie wyznaczyć kiedy razem na wybranym miejscu jest liczba \(\displaystyle{ 1}\), bo z tego co widzę to \(\displaystyle{ 2}\) rozgałęzia się na dwa przypadki (co nie znaczy, że nie możesz spróbować )

[hwite]

Ok, wszystko widzę już jak na dłoni, widzę też że się rozpędziłem i nie przyjrzałem się twojemu przykładowi.
Zrobię to jeszcze raz dla dwójek i jedynek. Dzięki wielkie.

[illwreakyabonez]

1) Ogólnie prosty sposób: Zauważ na którym miejscu po przecinku stoi dana liczba, czyli np.: 7,33(8283456) - szukamy np.: cyfry "2". Pierwsza z nich stoi na 4 miejscu po przecinku. Do miejsca, na którym stoi dana cyfra dodaj po prostu liczbę cyfr zamkniętych w nawiasie. Kolejna będzie na 4+7=11, 11+7=18, 18+7=25 itd.
\(\displaystyle{ x}\) - miejsca po przecinku na których stoją dane liczby
\(\displaystyle{ z}\) - ilość cyfr po przecinku poprzedzająca szukaną cyfrę
\(\displaystyle{ y}\) - ilość cyfr w nawiasie
\(\displaystyle{ n}\) - kolejne liczby naturalne np.: 1, 2, 3, ...

\(\displaystyle{ x=n(z+y)}\)

Jeżeli cyfry w nawiasie się powtarzają, wystarczy po prostu policzyć, ile cyfr poprzedza tą konkretną szukaną cyfrę, i podstawić za "z".

2) 1 w zaokrągleniu do setek to 0; 13 w zaokrągleniu do dziesiątek to 10; 149,98 w zaokrągleniu do dziesiątych części po przecinku to 150, itd.