Pani A i pan A prędkość

[Ruahyin]

Pani A jedzie samochodem 70 km z Radomia do Kielc szosą E7 ze średnią prędkością 66 km/h. Pan A wyrusza z Kielc do Radomia w tej samej chwili, w której wyjeżdża jego żona, osiągając średnią prędkość 74 km/h. Jak daleko są oboje od Kielc, kiedy się mijają?

[liu]

Zadanie jest źle sformułowane. Załóżmy, że pani A pojechała sobie kawałek od Radomia, po czym się zatrzymała (bo np. potrzeba ją przycisnęła na parkingu, a skończył się papier toaletowy), a pan A jechał sobie ze stałą prędkością. Po minięciu przez pana A pani A włączyła sobie turbo i popędziła na złamanie karku tak, żeby zachować średnią prędkość taką jak w treści zadania. Wtedy punkt mijania będzie pod samym Radomiem.
Państwo A mogli zastosować odwrotną taktykę i wtedy spotkają się pod Kielcami.

Należy zatem założyć (mniej lub bardziej realnie), że poruszali się ze stałą prędkością. Po tej uwadze możemy przystąpić do rozwiązania zadania.

Niech \(\displaystyle{ d}\) będzie odległością pomiędzy Radomiem a Kielcami, \(\displaystyle{ v_{pan}, v_{pani}}\) prędkościami odpowiednio pana A i pani A.

Załóżmy, że punkt \(\displaystyle{ 0}\) jest w Radomiu (tj. liczymy odległość od Radomia).

Po upływie czasu \(\displaystyle{ t}\) pani A znajduje się w punkcie \(\displaystyle{ v_{pani}t}\), a pan A w punkcie \(\displaystyle{ d - v_{pan}t}\) (bo jedzie od Kielc do Radomia). Trzeba rozwiązać równanie \(\displaystyle{ v_{pani}t = d - v_{pan}t}\), a wówczas \(\displaystyle{ v_{pan}t}\) da nam otrzymaną odległość.

[Ruahyin]

liu, mógłbyś napisać ile to wyjdzie bo wychodzą mi liczby których nie ma w odpowiedziach.
A. 22km, B. 33km, C. 35km D.37km

[liu]

Jeśli nie przerasta mnie mój kalkulator, to 37, wzór jest coś koło tego:

\(\displaystyle{ \frac{v_{pan}d}{v_{pani} + v_{pan}}}\)

[pesel]

Po minięciu przez pana A pani A włączyła sobie turbo i popędziła na złamanie karku tak, żeby zachować średnią prędkość taką jak w treści zadania. Wtedy punkt mijania będzie pod samym Radomiem. Państwo A mogli zastosować odwrotną taktykę i wtedy spotkają się pod Kielcami.

Ile (w km) jest "pod samym Radomiem" od Radomia albo ile (w km) jest "pod Kielcami" od Kielc?

[liu]

Można dobrać dowolnie blisko, pod warunkiem, że pani potem dostatecznie szybko pojedzie;) Trochę przesadziłem z symetrią, bo ten co wolniej jedzie nie może za długo posiedzieć, bo nie zdąży dojechać do końca, ale wygląda to mniej więcej tak (proszę wybaczyć moje zdolności w zakresie tworzenia wykresów):

[pesel]

Powiedzmy, że mamy do Kielc \(\displaystyle{ 5 km}\). Pani A dojedzie tam w \(\displaystyle{ (65/66) \ h}\). Z jaką prędkością pan A pokona resztę trasy do Radomia?

[liu]

Tak, jak wyżej napisałem, trochę przesadziłem, nie ma pełnej symetrii jeśli jedna z osób porusza się ruchem jednostajnym, co nie zmienia faktu, że zadanie nie ma jednoznacznego rozwiązania (jak na obrazku, który wstawiłem)

[pesel]

bo ten co wolniej jedzie nie może za długo posiedzieć, bo nie zdąży dojechać do końca

Chyba ten co szybciej jedzie?

[liu]

Nie mogę się wysłowić rozmawiając o normalnym świecie;) Istnieją krzywe monotoniczne (traktowane jako funkcje \(\displaystyle{ x=f(t)}\)) jedna od punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) do \(\displaystyle{ (t_1,d)}\), druga od \(\displaystyle{ (0,d)}\) do \(\displaystyle{ (t_2, 0)}\) przecinające się w punkcie o dowolnej drugiej współrzędnej z przedziału \(\displaystyle{ [0, d]}\). Jeśli przyjmiemy \(\displaystyle{ t_1 = d/v_1}\), \(\displaystyle{ t_2 = d/v_2}\) to dostaniemy krzywe opisujące ruch pojazdów z prędkościami średnimi odpowiednio \(\displaystyle{ v_1}\) i \(\displaystyle{ v_2}\). Ergo państwo A mogą się spotkać gdzie chcą, pod warunkiem, że się umówią na odpowiedni styl jazdy.