Przyjaciółka liczby rzeczywistej

[Bartek99]

Przyjaciółką danej liczby rzeczywistej nazywamy liczbę o jeden większą od kwadratu tej liczby.
Przyjaciółką przyjaciółki pewnej liczby ujemnej jest \(\displaystyle{ 12}\). Czy to w ogóle możliwe? Jeśli tak, to jaka to liczba?
Oznaczyłem przyjaciółkę jako \(\displaystyle{ a}\) Więc \(\displaystyle{ a^{2} + 1}\) to przyjaciółka liczba \(\displaystyle{ a}\).
\(\displaystyle{ ( a^{2} +1 )^{2} + 1 = a^{4} + 2a^{2} +1}\) to przyjaciółka przyjaciółki liczby \(\displaystyle{ a}\).
\(\displaystyle{ a^{4} + 2 a^{2} +1 = 12}\)
I nie wiem co z tym dalej zrobić. :/

[Lbubsazob]

Podstaw \(\displaystyle{ t=a^2}\) i rozwiązujesz równanie kwadratowe zmiennej \(\displaystyle{ t}\).

[Bartek99]

Chyba nie potrafię, nigdy czegoś takiego nie robiłem. Mogłabyś mi jakoś wytłumaczyć jak to się robi?

[Lbubsazob]

Ok, pewnie jesteś w I klasie liceum i jeszcze tego nie wprowadzili (niedługo wprowadzą). Schemat rozwiązywania równań kwadratowych masz dobrze opisany w tym temacie, ale jest też prostszy sposób. Zauważ, że lewa strona równania to wzór skróconego mnożenia, więc można obustronnie spierwiastkować:
\(\displaystyle{ t^2+2t+1=12 \\
(t+1)^2=12 \\
|t+1|=\sqrt{12} \\
t+1=\sqrt{12} \ \vee \ t+1=-\sqrt{12}}\)

[Bartek99]

Tak, jestem w I LO . Dziękuje, już rozumiem jak się rozwiązuje takie równania.
Chcę, żeby a była liczbą ujemną, czyli teraz \(\displaystyle{ t= - \sqrt{12} - 1}\)
\(\displaystyle{ t= a^{2}}\)
\(\displaystyle{ - \sqrt{12} - 1 = a^{2}}\)
\(\displaystyle{ a= \sqrt{- \sqrt{12} - 1 }}\)
Wyjdzie liczba niewymierna, może tak być?

[Lbubsazob]

Może być liczba niewymierna, bo w treści zadania jest napisane, że \(\displaystyle{ a}\) jest rzeczywiste.
Natomiast jeżeli masz rozwiązania \(\displaystyle{ t=\sqrt{12}-1, \ t=-\sqrt{12}-1}\) i chcesz wyciągnąć z nich pierwiastek, to pamiętaj, że liczba pod pierwiastkiem musi być nieujemna (nie możesz wziąć pierwiastka z \(\displaystyle{ -\sqrt{12}-1}\), bo \(\displaystyle{ -\sqrt{12}-1<0}\). W końcu to \(\displaystyle{ a}\) ma być ujemne, a nie \(\displaystyle{ t}\).
W takim razie bierzesz pod uwagę tylko \(\displaystyle{ a^2=\sqrt{12}-1}\), więc \(\displaystyle{ a= \pm \sqrt{\sqrt{12}-1}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ a}\) ma być ujemne, może być tylko \(\displaystyle{ - \sqrt{ \sqrt{12}-1}}\).

[Bartek99]

Dziękuję bardzo, teraz już wszystko rozumiem.