Maksymalna użyteczność

[ziomalok19]

Witam! Mam problem z pewnym zadaniem, za które nawet nie wiem jak się wziąć. Oto treść:

"Karol studiuje oraz pracuje. Tygodniowo na pracę i naukę może poświęcić 60 godzin. Karol musi przepracować tygodniowo minimum 10 godzin. Za godzinę pracy otrzymuje 5 zł. Jego funkcja użyteczności to: \(\displaystyle{ u_{1}\left( x_{1},x_{2}\right)= x_{1}+10x_{2}}\), gdzie: \(\displaystyle{ x_{1}}\) - zarobki, \(\displaystyle{ x_{2}}\) - godziny poświęcone na naukę. Jak powinien podzielić swój czas, aby zmaksymalizować swoją użyteczność?"

Bardzo proszę o pomoc, od czego zacząć i co po kolei liczyć?

Pozdrawiam.

[kropka+]

Jest to funkcja liniowa, więc rozważ dwie skrajne sytuacje:
1. pracuje \(\displaystyle{ 10}\) godzin i uczy się \(\displaystyle{ 50}\) godzin
2. pracuje \(\displaystyle{ 60}\) godzin
Jakie będą użyteczności w tych przypadkach?

[ziomalok19]

1. \(\displaystyle{ u_{1}\left(5 \cdot 10,10\right)= 50+20 \cdot 10=250}\)
2. \(\displaystyle{ u_{1}\left(5 \cdot 60,0\right)= 300+0 \cdot 10=300}\)

Czyli że drugi przypadek będzie lepszy ?

[Althorion]

Źle policzyłeś pierwszy przypadek. U Ciebie pracuje i się uczy po dziesięć godzin, a powinien pracować dziesięć i uczyć się pozostałe pięćdziesiąt.

[ziomalok19]

Oj, Dziękuje.
1. \(\displaystyle{ u_{1}\left(5 \cdot 10,50\right)= 50+10 \cdot 50=550}\)
2. \(\displaystyle{ u_{1}\left(5 \cdot 60,0\right)= 300+0 \cdot 10=300}\)

I to wszystko ?

[Althorion]

Nie rozumiem, czemu mnożysz czas nauki przez \(\displaystyle{ 20}\), skoro w zadaniu stoi \(\displaystyle{ 10}\).

A jak już policzysz dobrze, to patrzysz która wartość większa i korzystasz z tego, co napisała kropka+ — rozpatrywana funkcja użyteczności jest liniowa, więc ekstrema osiąga na krańcach przedziałów, zatem optymalnym rozwiązaniem będzie to lepsze z tych dwóch.

[ziomalok19]

Coś mi się pomyliło, poprawiłem. Dziękuję.