Suma kolejnych liczb naturalnych

[Roniek]

Ile kolejnych liczb naturalnych począwszy od 1 należy dodać aby ich suma była liczbą trzycyfrową złożoną z jednakowych cyfr?

[Tristan]

Wiemy, że \(\displaystyle{ 1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}}\) ma być trzycyfrową liczbą złożoną z jednakowych cyfr. Rozważmy więc pierwszy przypadek, gdy \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2}=111=3 37}\). Mamy wtedy, że \(\displaystyle{ n(n+1)=2 3 37=6 37}\). Ponieważ my w iloczynie chcemy widzieć dwie kolejne liczby naturalne, więc to równanie nie ma rozwiązań. Niech więc ogólnie \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2}=k 111=3k 37}\), czyli \(\displaystyle{ n(n+1)=6k 37}\). Ma więc zachodzić \(\displaystyle{ 6k=36 6k=38}\). Drugie równanie w zbiorze liczb naturalnych nie ma rozwiązań, więc \(\displaystyle{ 6k=36}\), skąd \(\displaystyle{ k=6}\). Otrzymujemy więc rozwiązanie, że \(\displaystyle{ n=6k=36}\).