dwa zadania z konkursu

guzik15 · Post autor: **guzik15** » 18 maja 2006, o 22:08

Byłem ostatnio na konkursie (warminsko-mazurskie zawody matematyczne dla gimnazjum, może ktoś był ;>?) i tam spotkały mnie dwa zadania...
1.Smok ma 2000 głów. Rycerz może ściąć jednym cięciem miecza 33 głowy lub 21 głów lub 17 głów lub 1 głowę. Smokowi dorastają wówczas odpowiednio 48, 0, 14 lub 349 głów. Smok zostanie zabity, gdy wszytskie głowy będą ściete. Czy rycerz moze zabic smoka? Odpowiedz uzasadnij.
2. Znaleźć wszystkie liczby czterocyfrowe, w których suma cyfr jest równa iloczynowi cyfr. Odpowiedz uzasadnij.(znalezienie moze nie jest sztuką ale uzasadnienie sprawiło mi trudność.[/scroll][/fade]

jasny · Post autor: **jasny** » 18 maja 2006, o 22:26

1. Przy tych cięciach smok zyskuje lub traci odpowiednio 15, 21, 3 i 348 głów. Wszystkie te liczby są podzielne przez 3. Jeśli smok ma 2000 głów, to wszystkie nigdy nie zostana ścięte, gdyż dodając lub odelmując wielokrotności 3 nigdy nie otrzymamy 0, bo 2000 nie dzieli się przez 3.

guzik15 · Post autor: **guzik15** » 18 maja 2006, o 22:37

no własnie ja tez tak myślałem, ale moja kolezanka zrobiła to w taki sposób:
95 razy sciął 21 głów, czyli pozostało 5 głów smokowi. Następnie ściął 33 głowy w wyniku czego smokowi dorosły 48, co daje że smok ma 20 głów, potem ściął 17 głów smokowi odrosły 14, w wyniku czego smokowi zostało 17 głów i teraz znowu ściął 17 głów i smok is dead szprytne, nie?

jasny · Post autor: **jasny** » 18 maja 2006, o 22:40

Nie. Jak mógł ściąć 33 głowy, jeśli smok miał tylko 5??

Rogal · Post autor: **Rogal** » 18 maja 2006, o 22:40

Nie, bo mu odrosło 14.

maszmirek · Post autor: **maszmirek** » 21 sty 2018, o 14:27

Witam,
Mam wrażenie, że możliwa jest sytuacja, że rycerz ścina tylko po \(\displaystyle{ 17}\) głów - wtedy po wykonaniu \(\displaystyle{ 661}\) cięć zostanie smokowi \(\displaystyle{ 17}\) głów, po których ścięciu już nic nie odrośnie??

\(\displaystyle{ 2000-661 \cdot (17-14)=2000-1983=17}\)

PokEmil · Post autor: **PokEmil** » 21 sty 2018, o 15:48

Smokowi wtedy zostanie \(\displaystyle{ 14}\) głów, bo od ostatniego cięcia siedemnastu głów, tyle ich właśnie odrośnie.
\(\displaystyle{ 15a - 21b - 3c +348d=2000 \\
3(5a - 7b - c + 116d) = 2000}\)
Po lewej stronie mamy liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\), po prawej - nie (bo \(\displaystyle{ a, b, c, d \in \mathbb{N^{+}}}\)).

Matematyka.pl